高三复习导数专题.doc

导 数导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程一、导数的基本知识1、导数的定义：=.2、导数的公式： （为常数） （） 3、导数的运算法则： 4、掌握两个特殊函数（1）对勾函数 （ ，） 其图像关于原点对称（2）三次函数三次函数 的图像 三次函数是关于M对称的中心对称图导数的基本题型和方法1、导数的意义：（1）导数的几何意义： （2）导数的物理意义： 2、导数的单调性：（1）求函数的单调区间； （2）判断或证明函数的单调性； （3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。3、函数的极值与最值：(1)求函数极值或最值； 是极值点 （2）由函数的极值或最值，求参数的值或参数的范围。4、导数与不等式。通过研究函数的最值，进而证明不等式 证明不等式f(x)g(x)在区间A上成立 方法一：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求出函数在区间A上的最小值 方法二：转化为证明 f(x)g(x)在区间A恒成立,求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在 区间A上的最小值,解此不等式既得参数的范围 不等式f(x)g(x)的解集为空集，求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出 函数在区间A上的 最小值 解此不等式既得参数的范围 不等式f(x)g(x)的解集非空，求参数取值范围。：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出 函数在区间A上的 最小值 解此不等式既得参数的范围 比较两个代数式f(x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在 区间A上的最值，若最小值，则；若最大值，则5、讨论讨论函数f(x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨 论零点的个数三、习题精选：【例1】导数的意义 (特别提醒利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上切点处的三 个性质）1、(2010新课标全国)曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为 (A) Ayx1 Byx1 Cy2x2 Dy2x2 解析：y3x22，y|x1321，切线方程为：y0x1， 即yx1.2、（2012全国）曲线在点（1,1）处的切线方程为_【解析】，切线斜率为4，则切线方程为：.3、2014广东 曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_5xy20解析 y5ex，所求切线斜是k5e05，切线方程是y(2)5(x0)， 即5xy20.4、2014课标全国)设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.则b= ；分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为f(1)0，即可求出b的值；解：(1)f(x) (1a)xb.由题设知f(1)0，解得b1.5、(2011湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为 ()A B. C D.答案By，故切线斜率ky|x，选B.6、2014江西 若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_ (e，e)解析 由题意知，yln x1，直线斜率为2.由导数的几何意义知， 令ln x12，得xe，所以yeln ee，所以P(e，e)7、如果质点A按规律s2t3(s的单位是m)运动，则在t3 s时的瞬时速度为 (C) A6 m/s B18 m/s C54 m/s D81 m/s 解析：s6t2，s|t354.8、已知曲线y=，则曲线过Q( 1,0 )点处的切线方程为 9、若直线y3x1是曲线yx3a的一条切线，求实数a= 解：设切点为P(x0，y0)，对yx3a求导数得y3x2，3x3，x01.当x01时，P(x0，y0)在y3x1上，y03114，即P(1,4)又P(1,4)也在yx3a上，413a，a3；当x01时，P(x0，y0)在y3x1上，y03(1)12，即P(1，2)又P(1，2)也在yx3a上，2(1)3a，a1.综上可知，实数a的值为3或1.10 2014江苏 在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在 点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_3解析 易知y2ax.根据题意有解得故ab3.11、已知函数f(x)的图象在点M(1，f (1) )处的切线方程为x2y50，则函数y f(x)= 解：由函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，知12f(1)50，即f(1)2，f(1). f(x)，即. 解得a2，b3(b10，b1舍去)所以所求的函数解析式是f(x).12、 （2010辽宁）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ( ) (A)0,) (B) （C） (D) 解析：选D.，即，13、设P为曲线C：yx2x1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1,3，则点P纵坐标的取值范围是_解析：设P(a，a2a1)，y|xa2a11,3，0a2.而g(a)a2a12，当a时，g(a)min.a2时，g(a)max3，故P点纵坐标范围是.【例2】函数的单调性1、 （2014湖北）函数f(x)的单调递增区间为 ；单调递减区间为 解： 函数f(x)的定义域为(0，) 因为f(x)，所以f(x). 当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增； 当f(x)e时，函数f(x)单调递减 故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)2、 设函数f(x)x(ex1)x2则函数f(x)的单调递增区间 为 答案：递增区间为，递减区间为3函数f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是 (B) A3，) B3，) C(3，) D(，3)解析：f(x)x3ax2在(1，)上是增函数， f(x)3x2a0在(1，)上恒成立即a3x2在(1，)上恒成立 又在(1，)上3x23，a3.4、(2014课标全国11)若函数f (x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是 ( D ） A(，2 B(，1 C2，) D1，) 解析：由f (x)k，又f (x)在(1，)上单调递增， 则f(x)0在x(1，)上恒成立，即在x(1，)上恒成立 又当x(1，)时，故k1.故选D.5、(2014湖南)若0x1x21，则 (C) Aln x2ln x1 Bln x2ln x1 C D 解析：设f(x)exln x，则.当x0且x趋近于0时，xex10； 当x1时，xex10，因此在(0,1)上必然存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，因此A，B不正确； 设，当0x1时，所以g(x)在(0,1)上为减函数所以g(x1)g(x2)， 即，所以.故选C.6、若函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_解析：由题意可得：f(x)2mx2在(0，)上有f(x)0恒成立，所以2mx20在(0，)上恒成立，即2m在(0，)上恒成立，设t(x)21，只要求出t(x)在(0，)上的最大值即可而当1，即x1时，t(x)max1，所以2m1，即m. 答案：7、已知f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围解：(1)f(x)exax1，f(x)exa.令f(x)0得exa，当a0时，有f(x)0在R上恒成立； 当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，)(2)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立xR时，ex(0，)，a0.故当a0时，f(x)在定义域R内单调递增8、已知函数f(x)x3ax2x1，aR.设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围解析：若函数在区间内是减函数，则说明f(x)3x2 2ax10两根在区间外，由此f0，且f0，由此可以解得a2.因此a的取值范围是2，) 或用变量分离法9、【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f(x)= exax2求f(x)的单调区间【例3】函数的极值与最值1、函数f(x)x33x22的极大值是 2 极小值是 解析：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0，x22、(2014北京)已知函数f(x)2x33x.，则f(x)在区间2,1上的最大值为 解：(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23， 令f(x)0，得或. 因为f(2)10，f(1)1， 所以f(x)在区间2,1上的最大值为.3、 函数在上的值域是_ 4、 (2014陕西)设函数，则f(x)的极小值为 解析：，则，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2， f(x)的极小值为2.5、已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么函数在2,2上的最小值是 (A)A37 B29 C5 D以上都不对解析：f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， 当x0时，f(x)m最大m3，从而f(2)37， f(2)5. 最小值为37.6、函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是 (B) A(0,3) B. C(0，) D(，3)解析：令y3x22a0，得x(a0，否则函数y为单调增函数)若函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则1，0a.7、R，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则 (A)Aa1 Ba1 Ca Da解析：由y(exax)exa0得exa， 即xln(a)0a1a1.8、yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于 (D)A. B. C. D1解析：f(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1，当x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a，02.令f(x)0，则x，f(x)在上递增；令f(x)0，则x，f(x)在上递减，f(x)maxfln a1，ln 0，得a1.9、函数f(x)x33ax23x1 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围解： f(x)3(xa)21a2当1a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1a20时，f(x)0有两个根，x1a，x2a.由题意知，2a3， 或2a3.式无解，式的解为a， 因此a的取值范围是.或用二次函数根的分布做此题10、（2013年福建）已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;【答案】解:()由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. 11、(2014四川)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；分析：(1)先利用求导求出g(x)的解析式，再求出其导函数g(x)，根据a的不同取值分类讨论g(x)的符 号变化，判断其单调性，从而求其最值；解：(1)由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a. 当x0,1时，g(x)12a，e2a 当时，g(x)0， 所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b； 当时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab； 当时，令g(x)0，得xln(2a)(0,1) 所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增 于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b. 综上所述，当时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b； 当时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b； 当时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.【例4】导数与函数的零点1、若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 (A)A(2,2) B2,2 C(，1) D(1，)解析：由f(x)3x233(x1)(x1)，且当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以当x1时函数f(x)有极大值，当x1时函数f(x)有极小值要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得2a2.（或转换成两个函数的图像来做）2、 (2014课标全国12)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00， 则a的取值范围是 (C) A(2，) B(1，) C(，2) D(，1) 解析：当a0时，f(x)3x21存在两个零点，不合题意； 当a0时，f(x)3ax26x， 令f(x)0，得x10， 所以f(x)在x0处取得极大值f(0)1，在处取得极小值， 要使f(x)有唯一的零点，需，但这时零点x0一定小于0，不合题意； 当a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x10， 这时f(x)在x0处取得极大值f(0)1，在处取得极小值， 要使f(x)有唯一零点，应满足，解得a2(a2舍去)， 且这时零点x0一 定大于0，满足题意，故a的取值范围是(，2)3、已知函数判断函数零点的个数；解： ，其定义域是 令，即，解得或， 舍去 当时，；当时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 当x =1时，函数取得最大值，其值为 当时，即 函数只有一个零点 4、 (2014陕西)设函数，mR.， 讨论函数零点的个数； 解析：由题设 (x0)， 令g(x)0，得(x0)， 设(x0)， 则(x)x21(x1)(x1)， 当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增； 当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减 x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点， (x)的最大值为. 又(0)0，结合y(x)的图像(如图)，可知 当时，函数g(x)无零点； 当时，函数g(x)有且只有一个零点； 当时，函数g(x)有两个零点； 当m0时，函数g(x)有且只有一个零点 综上所述，当时，函数g(x)无零点； 当或m0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当时，函数g(x)有两个零点5、(2014北京 )已知函数f(x)2x33x.若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围； 解析：设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)， 则，且切线斜率为， 所以切线方程为， 因此 整理得， 设g(x)4x36x2t3， 则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点” g(x)12x212x12x(x1) g(x)与g(x)的情况如下：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1 所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值 当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点， 所以g(x)至多有2个零点 当g(1)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点， 所以g(x)至多有2个零点 当g(0)0，且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110， 所以g(x)分别在区间1,0)，0,1)和1,2)上恰有1个零点由于g(x)在区间(，0)和 (1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点 综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)【例5】导数与不等式1、 已知函数f(x)x3x2bxc. 若f(x)在x1时取得极值，且x1,2时，f(x)c2恒成立， 求c的取值范围解：由题意，x1是方程3x2xb0的一个根，设另一根为x0，则 f(x)x3x22xc， f(x)3x2x2，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0；x(1,2)时，f(x)0；当x时，f(x)有极大值c，又f(1)c，f(2)2c，即当x1,2时，f(x)的最大值为f(2)2c，对x1,2时，f(x)c2恒成立，c22c，解得c1或c2，故c的取值范围为(，1)(2，)2、已知f(x)ax3bx2cx在区间0,1上是增函数，在区间(，0)与(1，) 上是减函数，且f. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间0，m(m0)上恒有f(x)x成立，求m的取值范围 解：(1)由f(x)ax3bx2cx，得f(x)3ax22bxc.又由f(x)在区间0,1上 是增函数，在区间(，0)与(1，)上是减函数，可知x0和x1是 f(x)0的解， 即解得 f(x)3ax23ax. 又由f，得f，a2，即f(x)2x33x2. (2)由f(x)x，得2x33x2x，即x(2x1)(x1)0，0x或x1. 又f(x)x在区间0，m(m0)上恒成立，0m.3、当ln xax在(0，)上恒成立时，求a的取值范围解：设函数f(x)ln xax(aR) f(x)a.x0，所以当a0时，f(x)a0，f(x)在(0，)上是增函数；当a0时，f(x)ln xax0在(0，)上不恒成立当a0时，f(x)在上f(x)a0， f(x)在上f(x)a0， 故f(x)在上是增函数，f(x)在上是减函数f(x)在x处取得最大值ln1，因此ln10，即a时，f(x)ln xax0在(0，)上恒成立，即ln xax在(0，)上恒成立所以当ln xax在(0，)上恒成立时，a的取值范围为.4、设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_解析：若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0，即x1,0)时，同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，从而a4， 综上可知a4. (或看做函数x来做)5、(2014辽宁，文12)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是(C) A5，3 B C6，2 D4，3 解析：当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，即当x2,1时， 不等式ax3x24x3(*)恒成立 (1) 当x0时，aR. (2) 当0x1时，由(*)得恒成立 设，则. 当0x1时，x90，x10，f(x)0，f(x)在(0,1上单调递增 当0x1时，可知af(x)maxf(1)6. (3) 当2x0时，由(*)得. 令f(x)0，得x1或x9(舍) 当2x1时，f(x)0，当1x0时，f(x)0，f(x)在2，1)上递减， 在( 1,0)上递增 x2,0)时，f(x)minf(1)1432.可知af(x)min2. 综上所述，当x2,1时，实数a的取值范围为6a2.故选C.【例6】用导数比较大小设，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得对任意0成立【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题【解】（1）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。当（1，+）时，0，是增函数，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即（3）由（1）知的最小值为1，所以，对任意，成立即从而得。【例7】函数的图像1、已知函数的图象如右下图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是 ( C ）-22O1-1-11O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD2、(2013浙江)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf (x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 (B)答案：解析：由导函数图象知，函数f(x)在1,1上为增函数当x(1,0)时f(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x(0,1)时f(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.3、 、若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 【 A 】ababaoxoxybaoxyoxyb A B C D4、（08福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是 （ A ）答案A由图形语言，不妨设函数yf(x)在(b，a)和(0，a)上为增函数(ba0)在(a，0)和(a，b)上为减函数，则导函数yf (x)在(b，a)和(0，a)上有f (x)0.在(a，0)和(a，b)上有f (x)0，函数yf (x)的图象在(b，a)上时在x轴上方，在(a，0)上时在x轴下方，在(0，a)上时在x轴上方，在(a，b)上时在x轴下方故选A.5、（08全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 （ A ）stOAstOstOstOBCD答案A刚开始时，瞬时速度在变大，即曲线上对应切线的斜率变大；加速行驶过程中，瞬时速度变大得更快；匀速行驶过程中，速度不变，即曲线上对应切线的斜率不变；减速行驶过程中，瞬时速度在变小，即曲线上对应切线的斜率变小，故选A.yxOyxOyxOyxOABCD6、（浙江理8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系 中，不可能正确的是 （ D ）【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。CB7、(2010青岛模拟)函数yf(x)的导函数yf(x)在区间(a，b)内的图象如图，则函数yf(x)在区间(a，b)内极大值的个数为 ()A1 B2 C3 D4答案：B8、设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yxf(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是 (D)Af(1)与f(1) Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2) Df(2)与f(2)解析：由yxf(x)的图象知2是yf(x)的两个零点，设f(x)a(x2)(x2)当x2时，xf(x)ax(x2)(x2)0，a0.由f(x)a(x2)(x2)知f(2)是极大值，f(2)是极小值，故选D. 10、 (2012重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数 yx f (x)的图象可能是() 答案Cf(x)在x2处取得极小值，在x2附近的左侧f (x)0，当x0. 在x2附近的右侧f (x)0，当2x0时，xf (x)0，故选C.11、(2011浙江)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()答案D设F(x)f(x)ex，则f (x)exf (x)f(x)