高三优质精准培优专练数学(理)(学生版).doc

数学（理）
培优点十 等差、等比数列
40
培优点九 线性规划
36
培优点八 平面向量
33
培优点七 解三角形
29
培优点六 三角函数
23
培优点五 导数的应用
18
培优点四 恒成立问题
14
培优点三 含导函数的抽象函数的构造
10
培优点二 函数零点
06
培优点一 函数的图象与性质
01
目录
Contents

培优点二十 几何概型
93
培优点十九 圆锥曲线综合
86
培优点十八 离心率
81
培优点十七 圆锥曲线的几何性质
76
培优点十六 利用空间向量求夹角
67
培优点十五 平行垂直关系的证明
59
培优点十四 外接球
56
培优点十三 三视图与体积、表面积
51
培优点十二 数列求和
47
培优点十一 数列求通项公式
43

2019届高三精准培优专练
培优点一 函数的图象与性质

1．单调性的判断
例１：（1）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）的单调递增区间为________．
2．利用单调性求最值
例2：函数的最小值为________．
3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式
例3：（1）已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
（2）定义在R上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为________________．
４．奇偶性
例４：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
５．轴对称
例５：已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点，且与
都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．404 B．804 C．806 D．402
６．中心对称
例６：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
７．周期性的应用
例７：已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，
则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．无法计算
对点增分集训

一、选择题
1．若函数的单调递增区间是，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则是（ ）
A．奇函数，且在内是增函数
B．奇函数，且在内是减函数
C．偶函数，且在内是增函数
D．偶函数，且在内是减函数
4．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，
，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．函数的图象可能为（ ）

7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．函数的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，
则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，
则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
12．已知函数，，若存在，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设函数，，则函数的递减区间是_______．
14．若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，
则________．
15．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取
值范围是________．
16．设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则________．
三、解答题
17．已知函数，其中是大于0的常数．
（1）求函数的定义域；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）若对任意恒有，试确定的取值范围．

18．设是定义域为的周期函数，最小正周期为2，且，当时，．
（1）判定的奇偶性；
（2）试求出函数在区间上的表达式．

培优点二 函数零点

1．零点的判断与证明
例1：已知定义在上的函数，
求证：存在唯一的零点，且零点属于．

2．零点的个数问题
例2：已知函数满足，当，，若在区间内，
函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．零点的性质
例3：已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
4．复合函数的零点
例4：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
对点增分集训

一、选择题
1．设，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A． B．
C． D．的符号不确定
3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）
A．和内 B．和内
C．和内 D．和内
5．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数的零点个数为（ ）
A．3 B．2 C．7 D．0
7．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数在区间内存在一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是奇函数且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数
的值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根
（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根
（4）方程有且只有4个根

则正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
13．函数的零点个数为________．
14．设函数与的图象的交点为，若，，则所在的区间是______．
15．函数的零点个数是________．
16．已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是________________．
三、解答题
17．关于的二次方程在区间上有解，求实数的取值范围．

18．设函数．
（1）作出函数的图象；
（2）当且时，求的值；
（3）若方程有两个不相等的正根，求的取值范围．

培优点三 含导函数的抽象函数的构造

1．对于，可构造
例1：函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．对于，构造；对于，构造
例2：已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．对于，构造；对于或，构造
例3：已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．与，构造
例4：已知函数对任意的满足，则（ ）
A． B．
C． D．

对点增分集训

一、选择题
1．若函数在上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，
则必有（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数满足，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数是函数的导函数，已知，且，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，
若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在上的函数的导函数为，（为自然对数的底数），
且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
10．定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．设是上的可导函数，且，，．则的值为________．
14．已知，为奇函数，，则不等式的解集为_________．
15．已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为__________．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且．若时，，
则不等式的解集为__________．

培优点四 恒成立问题

1．参变分离法
例1：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________．
2．数形结合法
例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________．
3．最值分析法
例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围___________．
对点增分集训

一、选择题
1．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
5．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数，若存在使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
14．函数，其中，若对任意正数都有，则实数的取值范围为____________．
15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．
16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．
三、解答题
17．设函数，其中，
（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）若，成立，求的取值范围．

18．设函数，
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，，都有，求的取值范围．

培优点五 导数的应用

1．利用导数判断单调性
例1：求函数的单调区间

2．函数的极值
例2：求函数的极值．

3．利用导数判断函数的最值
例3：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．

对点增分集训

一、单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．若是函数的极值点，则（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值0 D．有极小值0
3．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数是上的单调函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在内存在极值点，则（ ）
A． B．
C．或 D．或

7．已知，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
9．设函数，则（ ）
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
10．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
11．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
12．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间
上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数在区间上的最大值是___________．
14．若函数在，上都是单调增函数，则实数的取值集合是______．
15．函数在内不存在极值点，则的取值范围是___________．
16．已知函数，
①当时，有最大值；
②对于任意的，函数是上的增函数；
③对于任意的，函数一定存在最小值；
④对于任意的，都有．
其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
17．已知函数
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）证明：恒成立．

18．已知函数，其导函数为．
（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．

培优点六 三角函数

1．求三角函数值
例1：已知，，，求的值．

2．三角函数的值域与最值
例2：已知函数，
（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程；
（2）求函数在区间的值域．

3．三角函数的性质
例3：函数（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增

对点增分集训

一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．关于函数，下列命题正确的是（ ）
A．由可得是的整数倍
B．的表达式可改写成
C．的图象关于点对称

D．的图象关于直线对称
5．函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．函数的部分图象如图所示，则，的值分别可以是（ ）

A．， B．， C．， D．，
7．已知函数，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标，且在单调，则的最大值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．已知函数，给出下列四个说法：
；函数的周期为；
在区间上单调递增；的图象关于点中心对称
其中正确说法的序号是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
11．关于函数的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）
①函数的图像关于直线对称；
②将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为；
③函数在区间上单调递增；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，
则函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的单调递减区间是_________．
14．已知，且，则_________________．
15．函数在的值域为_________．
16．关于，有下列命题
①由可得是的整数倍；
②的表达式可改写成；
③图象关于对称；
④图象关于对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
三、解答题
17．已知，其图象在取得最大值．
（1）求函数的解析式；
（2）当，且，求值．

18．已知函数
的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的取值范围．

培优点七 解三角形

1．解三角形中的要素
例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．
2．恒等式背景
例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，
且有．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求，．

对点增分集训

一、单选题
1．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，三边长，，，则等于（ ）
A．19 B． C．18 D．
3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，
则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
10．在中，，，分别为角，，所对的边．若，
则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题
13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；
14．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．
15．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________
16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，则面积的取值范围是__________．
三、解答题
17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．

18．如图，在中，点在边上，，，．
．

（1）求的面积．
（2）若，求的长．

培优点八 平面向量

1．代数法
例1：已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（ ）
A．3 B． C． D．
2．几何法
例2：设，是两个非零向量，且，则_______．
3．建立直角坐标系
例3：在边长为1的正三角形中，设，，则__________．

对点增分集训

一、单选题
1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，
则（ ）

A． B．1 C． D．
4．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则（ ）

A． B． C． D．
5．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知非零向量，，满足且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
9．设向量，，，满足，，，则的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
10．已知与为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在等腰直角三角形中，，，是线段上的点，且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
13．已知向量，，，若，则________．
14．若向量，满足，，且，则与的夹角为__________．
15．已知正方形的边长为2，是上的一个动点，则求的最大值为________．
16．在中，，，，为线段上一点，则的取值范围为____．

培优点九 线性规划

1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到
例1：已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．目标函数为二次式
例2：若变量，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．目标函数为分式
例3：设变量，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．面积问题
例4：若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
对点增分集训

一、单选题
1．若实数，满足，则的最大值为（ ）

A． B．1 C．0 D．
2．已知实数，满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，满足，若只在点处取得最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A．或 B．2或 C．2或1 D．2或
8．若，满足不等式组，则成立的概率为（ ）

A． B． C． D．
9．若，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C． D．4
10．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上动点，点的坐标为．则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．3
11．若不等式组所表示的平面区域内存在点，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆，平面区域，若圆心，且圆与轴相切，
则圆心与点连线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题
13．设，满足，则的最大值为____________．
14．若变量，满足约束条件，则的最小值为_________．
15．已知实数，满足，则的最小值为______．
16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损的概率为，年利润获利的概率为，年利润获利的概率为，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为的概率为，持平的概率为，年利润亏损的可能性为．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．

培优点十 等差、等比数列

1．等差数列的性质
例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______．
2．等比数列的性质
例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．等差、等比综合
例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，
则有（ ）
A． B． C． D．或
对点增分集训

一、单选题
1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ）
A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤
2．设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．66 B．68 C．77 D．84
3．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．140 B．70 C．154 D．77
5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（ ）

A． B． C．1或 D．或
6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A． B．0 C．5 D．7
7．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．
8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（ ）
A．3 B． C． D．6
10．等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．27 B．36 C．45 D．66
11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（ ）

A．7042 B．7058 C．7063 D．7262
二、填空题
13．已知等差数列，若，则________．
14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值是___________．
15．设是等差数列的前项和，若，则_______．
16．在等差数列中，，则的值是_______．
三、解答题
17．已知数列中，，．
（1）求；
（2）若，求数列的前5项的和．

18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．
已知，，，．
（1）求和；
（2）若，求正整数的值．

培优点十一 数列求通项公式

1．累加、累乘法
例1：数列满足：，且，求．

2．与的关系的应用
例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．
3．构造法
例3：数列中，，，求数列的通项公式．

对点增分集训

一、单选题
1．由，给出的数列的第34项是（ ）
A． B．100 C． D．
2．数列满足，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
4．数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2017 D．3033
5．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在数列中，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
9．在数列中，若，，则的值（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，
使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
12．已知数列满足：，．设，，
且数列是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知数列的前项和为，且，则___________．
14．数列中，若，，则______．
15．设数列满足，，___________．
16．已知数列满足，，则_______．
三、解答题
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．

18．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．

培优点十二 数列求和

1．错位相减法
例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，
．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，，求证：．

2．裂项相消法
例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．

对点增分集训

一、单选题
1．已知等差数列中，，，则项数为（ ）
A．10 B．14 C．15 D．17
2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．对于函数，部分与的对应关系如下表：

1
2
3
4
5
6
7
8
9

3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）
A．7554 B．7549 C．7546 D．7539
4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．数列的前项和为，若，则（ ）
A．2018 B．1009 C．2019 D．1010
9．已知数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，且，则（ ）
A．20100 B．20500 C．40100 D．10050
11．已知数列满足：，，则
的整数部分为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）
A．305 B．306 C．315 D．316
二、填空题
13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．
14．表示不超过的最大整数．若，
，
，
，则__________．
15．已知函数，则________．
16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前
项的“均倒数”为，又，则_________．
三、解答题
17．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．

18．已知为数列的前项和，且，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对，，求数列的前项的和．

培优点十三 三视图与体积、表面积

1．由三视图求面积
例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．

2．由三视图求体积
例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．4 B． C． D．8

对点增分集训

一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为16+π，则俯视图中圆的半径为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．4
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）

A． B．
C． D．

5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（ ）

A． B． C． D．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）

A． B． C．