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高等数学教案

一、课程的性质与任务
高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。
第一章：函数与极限
教学目的与要求 18学时
1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
第一节：映射与函数
一、集合
1、 集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素
表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素
1)
2)
元素与集合的关系：
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N，Z，Q，R，N+
元素与集合的关系： A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作
若作且则称A是B的真子集。
空集：
2、 集合的运算
并集 ：
交集 ：
差集 ：
全集I 、E 补集：
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律、
结合律、

分配律

对偶律 (
笛卡儿积A×B
3、 区间和邻域
开区间
闭区间
半开半闭区间
有限、无限区间
邻域：
a 邻域的中心 邻域的半径
去心邻域
左、右邻域
二、映射
1. 映射概念
定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作

其中 称为元素的像，并记作，即
注意：1）集合X；集合Y；对应法则
2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一
3) 单射、满射、双射
2、 映射、复合映射
三、函数
1、 函数的概念：
定义：设数集，则称映射为定义在D上的函数 记为
自变量、因变量、定义域、值域、函数值
用、、
函数相等：定义域、对应法则相等
自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.
例：１) ｙ＝２
2) ｙ＝
3) 符号函数

4) 取整函数 （阶梯曲线）
5) 分段函数
2、 函数的几种特性
1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界)
有界的充要条件：既有上界又有下界。
注：不同函数、不同定义域，有界性变化。
2) 函数的单调性 （单增、单减）在x1、x2点比较函数值
与的大小（注：与区间有关）
3) 函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)
图形特点 (关于原点、Y轴对称)
4)函数的周期性(定义域中成立：)
3、 反函数与复合函数
反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数
函数与反函数的图像关于对称
复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。(注意：构成条件)
4、 函数的运算
和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)
5、 初等函数：
1) 幂函数： 2)指数函数：
3) 对数函数
4)三角函数

5) 反三角函数
，

以上五种函数为基本初等函数
6) 双曲函数

注：双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式

反双曲函数：
作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限
一、数列
数列就是由数组成的序列。
1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。
一般写成：
缩写为
例 1 数列是这样一个数列，其中
，
也可写为：

可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为

1、 极限的定义：
则称数列的极限为，记成
也可等价表述：
1）
2）
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质
定理1：如果数列收敛，那么它的极限是唯一
定理2 如果数列收敛，那么数列一定有界
定理3：如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，
定理4、如果数列收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限
一、极限的定义
1、在点的极限
1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。
2）如果自变量趋于时，相应的函数值 有一个总趋势-----以某个实数为极限 ，则记为 ：。
形式定义为：

注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、的极限
设：如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线-----则称函数在无限远点有极限。记为：
在无穷远点的左右极限：

关系为：

二、函数极限的性质
1、 极限的唯一性
2、 函数极限的局部有界性
3、 函数极限的局部保号性
4、 函数极限与数列极限的关系
第四节：无穷小与无穷大
一、无穷小定义
定义：对一个数列，如果成立如下的命题：
则称它为无穷小量，即
注： 1、的意义；
2、可写成；
3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。
定理1 在自变量的同一变化过程（或中，函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。

二、无穷大定义
一个数列，如果成立：
那么称它为无穷大量。记成：。
特别地，如果，则称为正无穷大，记成
特别地，如果，则称为负无穷大，记成
注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。
三、无穷小和无穷大的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大
即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有

注意是在自变量的同一个变化过程中
第五节：极限运算法则
1、无穷小的性质
设和是无穷小量于是：
（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

（2）对于任意常数C，数列也是无穷小量：

（3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

（4）也是无穷小量：

（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。
2、函数极限的四则运算
1、 若函数和在点有极限，则

2、 函数在点有极限，则对任何常数成立

3、若函数和在点有极限，则

3、 若函数和在点有极限，并且，则

极限的四则运算成立的条件是若函数和在点有极限
例：求下述极限

4、 复合函数的极限运算法则
定理6 设函数是由函数与复合而成，在点的 某去心邻域内有定义，若，
，且存在，当时，有
，则

第六节：极限存在准则 两个重要极限
定理1 夹逼定理 ：三数列、和，如果从某个号码起成立：1），并且已知和收敛，
2），则有结论：

定理2 单调有界数列一定收敛。
单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。
例：证明：

例：

证明：有界。求 的极限

第七节：无穷小的比较
定义：若为无穷小
且
高阶、低阶、同阶、 k阶、等价～
1、 若为等价无穷小则
2、 若～ 、～且存在，
则：
例：

第八节：函数的连续性与间断点
一、 函数在一点的连续性
函数在点连续，当且仅当该点的函数值 、左极限与右极限三者相等：

或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值 。
其形式定义如下：

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。
函数在区间［a,b］连续时注意端点。
注：左右连续，在区间上连续(注意端点)
连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线
二、间断点
若：中有某一个等式不成立，就间断，分为：
1、 第一类间断点：
可去型：但
跳跃型：
即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。
2 、第二类间断点：左极限与右极限两者之中至少有一个不存在（无穷型间断点和振荡型间断点）
例：见教材
第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性
一、 连续函数的四则运算
1.且，

2且，

3. 且，

反函数连续定理：如果函数是严格单调增加（减少）并且连续的，则存在它的反函数：并且也是严格单调增加（减少）并且连续的。
注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。
2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

复合函数的连续性定理：
设函数和满足复合条件，若函数在点x0连续；，又若函数在点连续，则复合函数在点连续。
注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质
一、 最大、最小值
设函数：在上有界，现在问在值域

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点的函数值 ，则记叫做函数在D上的最大值。
类似地，如果 中有一个最小实数，譬如说它是某个点的函数值，则记称为函数在上的最小值 。

二、有界性
有界性定理：如果函数在闭区间上连续，则它在上有界。
三、零点、介值定理
最大值和最小值定理：如果函数 在闭区间上连续则它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

亦即

若x0使，则称x0为函数的零点
零点定理：
如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点异号：则至少有一个零点，使
中值定理：
如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。
作业：见课后各章节练习。

第二章 导数与微分
教学目的与要求 22学时
1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

一、导数概念（）
1、定义　

左导数

右导数

∴
可以证明：
可导→连续。即可导是连续的充分条件。
连续是可导的必要条件。
左右导数(注：与左右极限关系)
2、导数的几何意义
曲线 在点处切线：

例1：讨论在x=0处可导性
解：∵
在x = 0连续
　　　　 不存在 ∴　在x = 0不可导
例2：已知存在
则

=
例3：设函数可微，
则
例4：
设
为使在x = x0 处可导，应如何选取常数a、b
解：首先必须在x0连续

∴　 ①

（由①得）

∵　　存在
∴ 　 从而　

例5： = x (x-1)(x-2)……(x-9) , 则
∵

例6：设在x = 0 领域内连续，，
则
∵ （分母→0）
∴

例7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ，
且 (a , b ≠0)，
问 存在否?
解：

二、导数的求法
1、显函数导数
求一个显函数的导数需解决：
①基本初等函数导数(P64);
②导数四则运算法则(P65);
③复合函数与反函数求导法则(P66)。
定理：
在X有导数，在对应点u有导数，
则复合函数在X处也有导数，
。

例1： 求
解：
例2： 求
解：
例3： 求
解：
例4： 求
解：

例5： 求
解：
例6： 求
解：
例7： 求
解：

例8： 求
解：
例9： 求
解：

高阶导数、二阶：

例10： ， 求
解：

先讲微分（后页）

2、 隐函数导数参数方程导数
如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)

例10：求下列隐函数的导数
（1）设 求
解： 方程两边对x求导，

（2）设是由方程所确定的隐函数，
求
解： 由原方程知当x=0时，，
方程两边对x求导。
，将x=0，代入得： ∴
(3) 是由方程所确定的隐函数,
试求,。
解: 方程两边对x求导：
①
方程两边再对x求导：
②
由原方程知，当时，，代入①得
再将，，代入②式，
得
(4) 设 求
解：

(5) 设是由方程组所确定的函数，求：。
解：

3、 分段函数的导数
1) 设
求：
解：当

∴ 不存在，故
高阶导数（n阶）略，
例

2) 设在（）上具有二阶连续导数，且，对函数
(1) 确定的值，使在（）上连续
(2) 对（1）中确定的，证明在（）上
一阶导数连续
解：
①
即当 在连续，
也就是在（）连续
②

而

在连续,即在连续

三、 微分

一阶微分形式不变
（自变量）
如
(中间变量)
例： ， ，
可导 可微

第三章微分中值定理导数的应用
教学目的与要求
1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6． 了解方程近似解的二分法及切线法。

一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）
1． 罗尔定理
如满足：
（1）在连续.
（2）在可导.
（3） 则至少存在一点
使
例 设，则
在区间（-1，0）内，方程
有2个实根；在（-1，1）内有2个根
例 设在[0，1]可导，且，
证明存在，使。
证： 设在[a,b]可导，
∴ 存在使 即
例 设在[0，1]可导，且,
证明存在 。
解: 设，且 由罗尔定理
存在 使 即，
亦即
例 习题6
设（复合函数求导）
2、 拉格朗日中值定理
如满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续，
则存在
使。
推论：⑴ 如果在区间I上，则
⑵ 如果在区间I上，
在Ｉ单增（减）
例　对任意满足的x，
都有
设
∵

∴
∵
∴
例 设，证明
求导证明
作业：见各章节课后习题。
二、洛必达法则
未定形：
如下的函数极限都是未定形。
1、型： 如：型：
2、型： 如：
3、型： 如：
4、型：如：
5、 型： 如：
6、 型： 如：
7、 型： 如：
它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，
且它们只表示类型，没有具体意义。
1、 （）型的洛必达法则(同理)
定理：对函数和，如果：
（1）,
（2）在某个邻域内（后）有导数
和，且；
（3）存在（或无穷），则成立：
=

例：1)
2)
3)

例： 1)
2)
3) (>0)
3、其它类型
1)
2)
3)
4) 解法同3）
例 ： 1)
2)
3)
4)

三、泰勒公式
一、多项式：

在点的各阶导数：

得：

二、泰勒中值定理：
如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数，则对任一有：
1、（N阶泰勒公式）

称为余项。
（1）（ 在与之间）
拉格朗日型余项
（2） 皮亚诺余项。
2、当得麦克劳林公式：

三、常见函数的泰勒展开
1)

2)

3)

四、函数的性态
1、极值
1）定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值。
可能极值点， 不存在的点与的点。（驻点）
驻点 ←极值点
2）判别方法
ⅰ、导数变号。
极小值
极大值
ⅱ、，
例1、 设满足关系式，且,
，则在点处 A
A、取得极大值 B、取得最小值
C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减
例2．已知函数对一切满足
如，，则 A
A、 是的极小值
B、是的极大值
C、是曲线的拐点
D、不是的极值，也不是曲线 的拐点。
例3． 设函数在的某邻域内可导，，
，则是的极 大 值。

2、函数的最大值与最小值
（1）求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。
（2）在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。
（3）如分别为最小, 最大值。
（4）实际问题据题意可不判别。

例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。
解：设切点为，切线方程为

即

∴ 三角形面积：

，

令 （唯一）
∴ 故 为所求点

3、曲线的凹凸、拐点及渐近线
在I上可导
如则曲线是凹（凸）的,
在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。
可能的拐点 和 不存在的点

例1、 设，试讨论的性态。

x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,1)
1
(1,+ ∞)
y’
+
0
-
间
断
+
0
+
y’’
-
-
-
-
0
+
y
单调增
上凸
极大值

单减
上凸
单增上凸
拐点
(1,0)
单增
下凸

渐近线 如 则称为水平渐近线
如 则称为垂直渐近线
渐近线可能没有，或多条。
例2、 求 渐近线 （斜渐近线不讨论）
解：
∵
∴ 为水平渐近线
∵
∴ 垂直渐近线

例2、 曲线的渐近线有 4 条

4 证明不等式
（1）利用中值定理（R，L）；
（2）利用函数单调性；
（3）利用最值；
（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；
（5）利用函数凹凸性；
（6）利用泰勒公式。

例1、 当，试
即证：

证： 设 ，在连续，可导，
由拉格朗日中值定理

即
∴

例2、设，证明
证： 设

单增，当
∴
设

单增，当
∴

例3、当 证明
证： 令

令得
驻点唯一，
∵
∴ 极小
∴ 为最小值
即

例4、 当
证明
证:
设

令 ,
驻点唯一

当 , → 在上
最大值为 ,最小值为
∴

例5、 设，证明
证明：即 证
设
，
时 ∴ 单减 当
即

例6、 设在上可导，且单调减，
证明： ，。
证： 令

∵ 单调减
， ，
∴ ，即单调减
，
即
作业：见课后习题
第四章不定积分
教学目的与要求

1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。
2． 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
3． 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理
1、原函数、不定积分
在区间Ⅰ上，如，称为的导函数，称为的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。
如为的一个原函数，则为的全体原函数。
记为，即=
不定积积分性质
(1) 或
(2)
(3)
(4)
∵原函数与导函数有互逆关系,
∴由导数表可得积分表。
例、 已知是的一个原函数，
求：
解：

例、的导函数是 ，则的原函数
，(、为任意常数)

例、在下列等式中，正确的结果是 C
A、 B、
C、 D、

例、

2、计算方法
10 换元法
第一类换元法（凑微分法）
常用凑微分形式

例：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、

9、
10、

11、
12、

13、

14、

15、

16、

17、

18、

19、

解：

20、解：

21、

22、设，则

二．第二换元法
定理2
除了凑微分法外其它常用变量代换
(1)被积函数中含有二次根式
，令
，令
，令
如是配方

1
例1、 令

x
t
解：原式

例2、 二种解法

（2）被积函数中含一般根式
例3、
解：令
原式

例4、 令
原式

例5、
解：令

原式

20分部积分
<定理> 如、均具有连续的导函数，则

例1、

例2、

例3、

例4、

例5、

例6、

例7、

例8、

例9、

例10、

例11、

30有理函数的积分
有理函数的积分

方法：
→真分式→部分分式
部分分式：

其中：
确定常数的值；再积分。

例： 1)
2)
3)
4)
5)
解：

令
令
∴

6)

40 三角有理式积分
令
7、

8、

9、设的原函数恒正，且，当，有，求
解：

由 得C=1
∴
∴
例：
1)

2)

3)

4)

5)

作业：见课后习题

第五章 定积分的概念
教学目的与要求：
1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。
3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

一、定义及性质
<定义>：，
注意(1)积分区间有限，被积函数有界；
(2)与“分法”、“取法”无关；
(3)定积分的值与积分变量的选取无关
；
(4)在有界是在可积的必要条件，在连续是在可积的充分条件。
<几何意义>：在几何上表示介于，，，之间各部分面积的代数和。
补充规定
<性质> 性质（1）—（9）（1---7省略）
其中(8)为估计定理：在，，则

(9)中值定理：如在连续，，使

例1．利用定积分几何意义，求定积分值
上式表示介于, , , 之间面积

例2、（估计积分值） 证明
证：
在 上最大值为，最小值为2
∴
∴
二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式
10变上限积分
基本定理：设在连续，为上任意一点，
则是可导函数，且
即 说明为的一个原函数。

例3、已知,,
, ,
，
求：
解：

例4、

例5、有极大值的点为 D
A. B. C. D.

例6、如 ,则 B
A. B. C. D.

例7、 设在上连续，且
,
证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。

证：

20 定积分计算
① 牛顿莱伯尼兹公式
<定理>设在连续。为在上的任意一个原函数，则有

② 定积分换元法与分部积分法

30 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质
(1) 在连续，
当为偶数，则
当为奇函数，则
(2) ，以T为周期
说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

例9、
原式

例10、

例11、

例12、设 则
A、 B、 C、 D、

例13、
法一 设

法二 设 原式

例14、设为连续函数，且 求
解： 设 则
两边积分

∴

例15、(、在连续，且

求、的表达式。
答案：
)

例16、设 ，
求
解：

令
(∵)
∴
例17、设 求
解：

例18、已知在上二阶可导，且，及
求
解：原式

例19、设在连续
证明：
证：右边 =

例20、设
求
解：

例21、设连续，，且
求，并讨论在处连续性
解：

得
令

∴

∴ 在连续
即在连续

例22、试证方程 在内有且仅有一实根
证：设 在连续
且：

由介值定理 ，使 F(ζ)=0
即F(x)=0有根
又∵ ，
单增
∴根唯一

例23、设在，连续
试证：内至少一点，使
证：设
则在可导
中值

在上满足罗尔定理条件
∴至少存在一点ζ，使
即
亦即

例24、

例25：
设在连续，可导，且，证明在内，有
证：

在单调减，
故

作业：各章节课后习题。

第六章 定积分应用

1°平面图形面积
(ⅰ)直角坐标：

例1：
求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积
解：
在点处，，切线方程
在点处，，切线方程
得交点

（ii）极坐标

例2、求由曲线所围图形公共部分的面积
解：两曲线的交点

+

2°旋转体体积
由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，

由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积

例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积
解：设切点为
切线方程
Q 切点在