2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题--含答案.doc

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试
理科数学答案
一．选择题
1-6 DBCABB 7-12 DACDCC
二．填空题
13. 3 14. 乙 15. 16.
三．解答题
17. 解：（Ⅰ）
∵，∴
∴
∴函数的值域为．
（Ⅱ）∵∴
∵，∴，∴，即
由正弦定理，，∴

∴，，∴
∴
18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则
故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为.
（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：

近视
不近视
足够的户外暴露时间
40
60
不足够的户外暴露时间
60
40

所以的观测值，
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.
19.解：（Ⅰ）在中，延长交于点，
,是等边三角形
为的重心

平面, 平面，

,即点为线段上靠近点的三等分点.
（Ⅱ）等边中，，，，交线为，
如图以为原点建立空间直角坐标系
点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.
设,则，

设平面的法向量，则
即，取，则

又平面，,

则,
又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .
20.解：（Ⅰ）设，则，
因为，则

所以，
整理得 .
所以，当时，曲线的方程为 . . 4分
（Ⅱ）设. 由题意知，
直线的方程为：，直线的方程为：.
由（Ⅰ）知，曲线的方程为， .7分
联立 ，消去，得，得
联立，消去，得，得

设 则在上递增
又，
的取值范围为
21.解：（Ⅰ）当时，令解得

递减
极小值
递增

（Ⅱ）设，
令，，
，设，，
由得，
，在单调递增，
即在单调递增，，
① 当，即时，时，，在单调递增,
又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.
②当，即时，
，又
故，当时，，单调递减，又，
故当时，，
在内，关于的方程有一个实数解.
又时，，单调递增，
且，令，
,,故在单调递增，又
故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，，
故在内，关于的方程有一个实数解.此时方程有两个解.
综上，.
22.解：（Ⅰ）
所以曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，
代入曲线得设所对应的极径分别为.

满足或 的倾斜角为或，
则或.
23.解：（Ⅰ）因为，所以 ，解得 .
故实数的取值范围为.
（Ⅱ）由（1）知，，即. 根据柯西不等式

等号在即时取得.
所以的最小值为.