资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使，连接DE，若，则∠E的度数是（ ）
A．65° B．60° C．50° D．40°
2．在△ABC中，点D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，，则=（ ），
A． B． C． D．
3．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，抛物线y＝﹣（x+m）2+5交x轴于点A，B，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C，则点C的纵坐标为（ ）
A． B． C．3 D．
5．下列函数中， 是的反比例函数（ ）
A． B． C． D．
6．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )
A． B． C． D．
7．若点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
8．为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从市文旅局获悉，“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．1.7118×10 B．0.17118×10
C．1.7118×10 D．171.18×10
9．将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则Q点的坐标为_____________
12．如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为__________．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（x1，0），且﹣1＜x1＜0，对称轴x＝1．如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中所有结论正确的是______（填写番号）．
14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动中的最大高度是_____米．
15．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在M处，∠BEF＝70°，则∠ABE＝_____度．
16．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为_____．
17．点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是_____．
18．在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，
（1）求证：△AME∽△BEC．
（2）若△EMC∽△AME，求AB与BC的数量关系．
20．（6分）解方程：x2﹣6x﹣40＝0
21．（6分）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．
22．（8分）已知二次函数y＝ax²＋bx－4(a，b是常数.且a0)的图象过点(3，－1).
(1)试判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由.
(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数表达式.
(3)已知二次函数的图像过(，)和(，)两点，且当＜时，始终都有＞，求a的取值范围.
23．（8分）如图，已知，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点从A点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动，点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动，如果两点同时出发，经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位．
24．（8分）综合与探究:
操作发现:如图1，在中，，以点为中心，把顺时针旋转，得到;再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接.则与的位置关系为平行；
探究证明:如图2，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式，以点为中心，把顺时针旋转，得到；再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接，
①探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
②探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.
25．（10分）如图1，若二次函数的图像与轴交于点（-1，0）、，与轴交于点（0，4），连接、，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点是抛物线在一象限内上方一动点，且点在对称轴的右侧，连接、，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点坐标．
26．（10分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元（用含x的代数式表示．）
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】连接BD，与AC相交于点O，则BD=AC=BE，得△BDE是等腰三角形，由OB=OC，得∠OBC=50°，即可求出∠E的度数.
【详解】解：如图，连接BD，与AC相交于点O，
∴BD=AC=BE，OB=OC，
∴△BDE是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∵，∠ABC=90°，
∴∠OBC=，
∴；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.
2、A
【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：1．
【详解】解：如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
3、C
【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．
【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
4、B
【分析】将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，然后联立组成方程组求解即可．
【详解】解：将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，
根据题意得：，
解得：，
∴交点C的坐标为（，），
故选：B．
【点睛】
考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是了解抛物线平移规律，并利用平移规律确定平移后的函数的解析式．
5、A
【分析】根据形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是因变量，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．分别对各选项进行分析即可．
【详解】A． 是反比例函数，正确；
B． 是二次函数，错误；
C． 是一次函数，错误；
D． ，y是的反比例函数，错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义．反比例函数解析式的一般形式为（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
6、D
【解析】根据几何体的三视图判断即可．
【详解】由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选D．
【点睛】
考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
7、B
【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小，从而可以解答本题．
【详解】解：∵点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝的图象上，k＝3＞0，
∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象在第一、三象限，
∵﹣7＜﹣4，0＜5，
∴y2＜y1＜0＜y3，
即y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
8、C
【分析】用科学记数法表示较大数的形式是 ，其中，n为正整数，只要确定a,n即可.
【详解】将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键.
9、D
【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可.
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为：.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，属于基础知识，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.
10、A
【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (2,)
【解析】因为三角形OQC的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，所以可求出k的值，PC为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标
【详解】解：设A点的坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
分别代入，
解方程得a=4，b=-2，
∴A（4，0），B（0，-2）
∵PC是△AOB的中位线，
∴PC⊥x轴，即QC⊥OC，
又Q在反比例函数的图象上，
∴2S△OQC=k，
∴k＝2×＝3，
∵PC是△AOB的中位线，
∴C（2，0），
可设Q（2，q）
∵Q在反比例函数的图象上，
∴q＝，
∴点Q的坐标为(2 ， )．
点睛：本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道函数上面取点后所得的三角函数的面积和点的坐标之间的关系．
12、2
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可；
【详解】如图，连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=，
∴，
当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD=CB=AB=2，即CD的最大值为2；
故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.
13、③④⑤
【解析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，则a<0，抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，对称轴在y轴右侧，则与a的符号相反，故b>0.
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误，
当x=-1时，y=a-b+c＜0，得b＞a+c，故②错误，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（x1，0），且-1＜x1＜0，对称轴x=1，
∴x=2时的函数值与x=0的函数值相等，
∴x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确，
∵x=-1时，y=a-b+c＜0，-=1，
∴2a-2b+2c＜0，b=-2a，
∴-b-2b+2c＜0，
∴2c＜3b，故④正确，
由图象可知，x=1时，y取得最大值，此时y=a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞am2+bm
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
14、1
【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝30t﹣5t2的顶点坐标即可．
【详解】解：h＝﹣5t2+30t
＝﹣5（t2﹣6t+9）+1
＝﹣5（t﹣3）2+1，
∵a＝﹣5＜0，
∴图象的开口向下，有最大值，
当t＝3时，h最大值＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．
15、1
【分析】根据折叠的性质，得∠DEF＝∠BEF＝70°，结合平角的定义，得∠AEB＝40°，由AD∥BC，即可求解．
【详解】∵将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，
∴∠DEF＝∠BEF＝70°，
∵∠AEB+∠BEF+∠DEF＝180°，
∴∠AEB＝180°﹣2×70°＝40°．
∵AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AEB＝40°，
∴∠ABE＝90°﹣∠EBF＝1°．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，平角的定义以及平行线的性质定理，掌握折叠的性质，是解题的关键．
16、30°
【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，可得∠B＝∠BDC＝50°，由三角形内角和定理可求∠BCD＝80°＝∠ACE，由外角性质可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，
∴∠B＝∠BDC＝50°，
∴∠BCD＝80°＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠B+∠A，
∴∠A＝80°﹣50°＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形内角和与三角形外角和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握旋转的性质，能够由旋转的到相等的角.
17、（﹣3，4）．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．填空即可．
【详解】解：点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），
故答案为（﹣3，4）．
【点睛】
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
18、m＞﹣
【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴1+2m＞0，
故m的取值范围是：m＞﹣，
故答案为：m＞﹣.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）利用相似三角形的性质证明∠BCE＝∠ECM＝∠DCM＝30°即可解决问题．
【详解】（1）∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，
∴∠MEC＝∠D＝90°，
∴∠AEM+∠BEC＝90°，
∵∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AME＝∠EBC，
又∵∠A＝∠B，
∴△AME∽△BEC．
（2）∵△EMC∽△AME，
∴∠AEM＝∠ECM，
∵△AME∽△BEC，
∴∠AEM＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠ECM
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠DCM＝∠ECM，DC＝EC，
即∠BCE＝∠ECM＝∠DCM＝30°，
在Rt△BCE中，，
∴，
∵DC＝EC＝AB，
∴.
【点睛】
此题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，利用30角的余弦值求边长的比，利用三角形相似及折叠得到∠BCE＝∠ECM＝∠DCM＝30°是解题的关键.
20、x1＝10，x2＝﹣1．
【分析】用因式分解法即可求解.
【详解】解：x2﹣6x﹣10＝0，
（x﹣10）（x+1）＝0，
∴x﹣10＝0或x+1＝0，
∴x1＝10，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
21、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明△BCD∽△BCA,得到.则有,所以点D是AB边上的黄金分割点;
(2)证明,直线CD是△ABC的黄金分割线;
【详解】解：(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:
AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.
CD是角平分线, ∠ACD=∠BCD=,
∠A=∠ACD,AD=CD.
∠CDB=180-∠B-∠BCD=,
∠CDB=∠B,BC=CD.
BC=AD.
在△BCD与△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,
△BCD∽△BCA,
点D是AB边上的黄金分割点.
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设ABC中,AB边上的高为h,则
,,,
由（1）得点D是AB边上的黄金分割点，
，
直线CD是△ABC的黄金分割线
【点睛】
本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.
22、（1）不在；（2）；；（3）
【解析】（1）将点代入函数解析式，求出a和b的等式，将函数解析式改写成只含有a的形式，再将点代入验证即可；
（2）令，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a的值，从而可得函数表达式；
（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.
【详解】（1）二次函数图像过点
代入得，
，代入得
将代入得，得，不成立，所以点不在该函数图像上；
（2）由（1）知，
与x轴只有一个交点
只有一个实数根
，或
当时，，所以表达式为：
当时，，所以表达式为：；
（3）
对称轴为
当时，函数图象如下：
若要满足时，恒大于，则、均在对称轴左侧
，
当时，函数图象如下：
，此时，必小于
综上，所求的a的取值范围是：.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质（与x的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.
23、2秒，4秒或秒
【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后表示出三角形的两边利用三角形的面积计算公式列出方程计算即可．
【详解】解：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，1），
所以，OA=6，OC=1．
设经过x秒钟，则OQ为2x．
当时，点P在线段OA上，底OP=，
可列方程，
解得．
当时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP=，
可列方程，
解得，
而不合题意舍去．
综上所述，经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为1个平方单位．
【点睛】
本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据直线的解析式确定直线与两坐标轴的交点，从而求得有关的线段的长，注意分类讨论，难度不大．
24、①,证明详见解析；②，证明详见解析.
【分析】（1）根据旋转角的定义即可得到，即可证得与的位置关系.
（2）过点作，交于点，证明四边形为平行四边形即可解决问题.
【详解】①.
证明:由旋转的性质，知.
又，
.
②.
证明:过点作，交于点.
.
又由旋转的性质知，
.
.
.
又
四边形为平行四边形.
.
【点睛】
本题考查旋转变换，掌握旋转的性质及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
25、（1） （2）存在， （3）Q点的坐标为或
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）连接OP，设，根据三角形面积的关系可得，即可求出P点的坐标；
（3）分两种情况：①当Q在BC的上方时，过C作交AB于D；②当Q在BC的下方时，连接BQ交y轴于点E，根据全等三角形的性质联立方程求解即可．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线
解得
；
（2）连接OP
设
∵P在对称轴的右侧
；
（3）①当Q在BC的上方时，过C作交AB于D
设CD的解析式为
∴设BQ的解析式为
解得
②当Q在BC的下方时，连接BQ交y轴于点E
设BE的解析式为
解得
综上所述，Q点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质、待定系数法、三角形面积公式、一次函数的性质、全等三角形的性质、平行线的性质、解方程组的方法是解题的关键．
26、（1）（500﹣10x）；（10+x）；（2）销售单价为60元时，进货量为400千克．
【分析】（1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案；
（2）利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而求出答案．
【详解】（1）由题意可知：销售量为（500﹣10x）千克，
涨价后每千克利润为：50+x﹣40＝10+x（千克）
故答案是：（500﹣10x）；（10+x）；
（2）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
整理，得：x2﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30，
因为又要“薄利多销”
所以x＝30不符合题意，舍去．
故销售单价应涨价10元，则销售单价应定为60元；
这时应进货=500﹣10×10=400千克.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销量是解题关键．
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