资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ ）
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
2．反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，则k可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设抛物线的顶点为M ,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 ( )
A． B．
C． D． (a为任意常数)
4．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
6．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )
A．(0，﹣1) B．(﹣2，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，1)
9．如图，点在反比例函数的图象上，过点的直线与轴，轴分别交于点，，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF，若AB，∠DCF30°，则EF的长为（ ）．
A．2 B．3 C． D．
11．关于反比例函数图象，下列说法正确的是( )
A．必经过点 B．两个分支分布在第一、三象限
C．两个分支关于轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称
12．△ABC的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．
A．三条边垂直平分线 B．三条中线
C．三条角平分线 D．三条高
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一辆汽车在行驶过程中，路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，关于的函数解析式为，那么当时，关于的函数解析式为________．
14．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是______cm．
15．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．
16．已知为锐角，且，那么等于_____________．
17．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC= ．
18．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知抛物线与轴的两个交点是点，（在的左侧），与轴的交点是点．
（1）求证：，两点中必有一个点坐标是；
（2）若抛物线的对称轴是，求其解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（8分）己知函数（是常数）
（1）当时，该函数图像与直线有几个公共点？请说明理由；
（2）若函数图像与轴只有一公共点，求的值.
21．（8分）如图，△ABC的角平分线BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所对的边记为a、c.
(1)当c=2时，求a的值；
(2)求△ABC的面积(用含a，c的式子表示即可)；
(3)求证：a，c之和等于a，c之积.
22．（10分） “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．
请根据图中信息完成下列各题．
（1）将频数分布直方图补充完整人数；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；
（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．
23．（10分）如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△DCE∽△DBC；
（2）若CE=，CD=2，求直径BC的长．
24．（10分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有多少名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
25．（12分）如图，矩形中，.为边上一动点(不与重合)，过点作交直线于.
(1)求证：；
(2)当为中点时，恰好为的中点，求的值.
26．综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．
操作与发现：
（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ；
（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ．
操作与探究 ：
（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解:∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，
∴花圃的面积为＝3π，
故选：B．
【点睛】
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．
2、A
【解析】试题分析：因为y=的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，
所以k-1＜0，k＜1．
故选A．
考点：反比例函数的性质．
3、D
【分析】求出各选项中M、N两点的坐标，再求面积S，进行判断即可；
【详解】A选项中，M点坐标为（1，1），N点坐标为（0，-2），，故A选项不满足；
B选项中，M点坐标为，N点坐标为（0，），，故B选项不满足；
C选项中，M点坐标为(2，），点N坐标为（0，1），，故选项C不满足；
D选项中，M点坐标为（，），点N坐标为（0，2），，当a=1时，S=1，故选项D满足；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
4、B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；如果△PMN为等边三角形，求得∠MPN＝60°，推出△CPM是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；当∠ABC＝45°时，∠BCN＝45°，由P为BC边的中点，得出BN＝PB＝PC，判断④正确．
【详解】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM＝BC，PN＝BC，
∴PM＝PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，
∴，②正确；
③∵∠ABC＝60°，
∴∠BPN＝60°，
如果△PMN为等边三角形，
∴∠MPN＝60°，
∴∠CPM＝60°，
∴△CPM是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
则△ABC是等边三角形，
而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；
④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，
∴BN＝CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN＝PB＝PC，故④正确．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的性质．
5、D
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程的二次项系数不为零、根的判别式的值大于零，从而列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的取值范围．
【详解】根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，能够准确得到关于的不等式组是解决问题的关键．
6、D
【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．
【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为，
观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．
7、B
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8、C
【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.
【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，
∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
9、D
【分析】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，得AO=OD，CD=2OB，进而得的面积为4，即可得到答案．
【详解】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，
∵，
∴AO=OD，
∴OB是∆ADC的中位线，
∴CD=2OB，
∵的面积为，
∴的面积为4，
∵点在反比例函数的图象上，
∴k=2×4=8，
故选D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，添加辅助线，求出的面积，是解题的关键．
10、A
【解析】试题分析：由题意可证△AOF≌△COE，EO=FO，AF=CF=CE=AE，四边形AECF是菱形，若∠DCF=30°，则∠FCE=60°，△EFC是等边三角形，∵CD=AB=，∴DF=tan30°×CD=×=1，∴CF=2DF=2×1=2，∴EF=CF=2，故选A．
考点：1．矩形及菱形性质；2．解直角三角形．
11、D
【分析】把(2，1)代入即可判断A，根据反比例函数的性质即可判断B、C、D．
【详解】A．当x=2时，y=-1≠1，故不正确；
B． ∵-2＜0，∴两个分支分布在第二、四象限，故不正确；
C． 两个分支不关于轴成轴对称，关于原点成中心对称，故不正确；
D． 两个分支关于原点成中心对称，正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．反比例函数图象的两个分支关于原点成中心对称．
12、A
【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】将x=1代入得出此时y的值，然后设当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为y=kx+b，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
【详解】解：∵当时0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y=1x，
∴当x=1时，y=1．
又∵当x=2时，y=11，
设当1＜x≤2时，y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（1，1），（2，11）分别代入解析式得，
，解得，
所以，当时，y关于x的函数解析式为y=100x-2．
故答案为：y=100x-2．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，比较简单．
14、1；
【解析】解：设圆的半径为x，由题意得：
=5π，解得：x=1，故答案为1．
点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
15、（1，﹣2）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
16、
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17、16：1
【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=，
故答案为16：1．
18、 (1，﹣5）
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是(1，﹣5)．
故答案为(1，﹣5）．
【点睛】
本题考查了顶点式对应的顶点坐标，顶点式的理解是解题的关键
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）将抛物线表达式变形为，求出与x轴交点坐标即可证明；
（2）根据抛物线对称轴的公式，将代入即可求得a值，从而得到解析式；
（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO=45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．
【详解】解：（1）=，
令y=0，则，，
则抛物线与x轴的交点中有一个为（-2，0）；
（2）抛物线的对称轴是：=，
解得：，代入解析式，
抛物线的解析式为：；
（3）存在这样的点，
，
，
如图1，当点在直线上方时，记直线与轴的交点为，
，
，，
则，
，
则，，
求得直线解析式为，
联立，
解得或，
，；
如图2，当点在直线下方时，记直线与轴的交点为，
，，
，
则，
，，
求得直线解析式为，
联立，
解得：或，
，，
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．
20、（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）或.
【分析】（1）首先联立二次函数和一次函数得出一元二次方程，然后由根的判别式判定即可；
（2）分情况讨论：当和时，与轴有一个公共点求解即可.
【详解】（1）当时，
∴∴
∵
∴方程有两个不相等的实数根，函数图像与直线有两个不同的公共点
（2）①当时，函数与轴有一个公共点
②当时，函数是二次函数
由题可得，
综上可知：或.
【点睛】
此题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.
21、 (1)a=2；(2)或；(3)见解析.
【分析】（1）过点作于点，由角平分线定义可得度数，在中，由，可得，由，得点与点重合，从而，由此得解；
（2）范围内两种情形：情形1：过点作于点，过点作延长线于点，情形2：过点作于点交AB的延长线于点H，再由三角形的面积公式计算即可；
（3）由（2）的结论即可求得结果.
【详解】(1)过点作于点，
∵平分，
∴，
在中，，，
∵，
∴点与点重合，
∴，
∴；
(2)情形1：过点作于点，过点作延长线于点，
∵平分，
∴．
∵在中，，，
在中，，，
∴；
情形2：过点作于点交AB的延长线于点H，
则，
在中，，
于是；
(3)证明：由（2）可得=，
即=，
则a+c=ac
【点睛】
此题主要考查学生对解直角三角形的理解及运用，掌握三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理以及三角形面积的解答方法是解决此题的关键．
22、（1）答案见解析 （2）54% （3）
【解析】（1）根据各组频数之和等于总数可得分的人数，据此即可补全直方图；
（2）用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得；（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）70到80分的人数为人，
补全频数分布直方图如下：
（2）本次测试的优秀率是；
（3）设小明和小强分别为、，另外两名学生为：、，
则所有的可能性为：、、、、、，
所以小明与小强同时被选中的概率为．
【点睛】
本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．
23、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，可证△DCE∽△DBC；
（2）由勾股定理可求DE=1，由相似三角形的性质可求BC的长．
【详解】（1）∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，
∴△DCE∽△DBC；
（2）∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴DE1．
∵△DCE∽△DBC，
∴，
∴，
∴BC=2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△DCE∽△DBC是解答本题的关键．
24、（1）参与问卷调查的学生人数为100人；（2）补全图形见解析；（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人．
【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
【详解】（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%=100人，
（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10=5人，
读2本人数所占百分比为×100%=38%，
补全图形如下：
（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25、 (1)见解析；(2) 的值为.
【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据余角的性质可得，进而可得结论；
（2）根据题意可得BP、CP、CE的值，然后根据（1）中相似三角形的性质可得关于m的方程，解方程即得结果.
【详解】解：（1）证明：四边形是矩形，，
，，
，，
∴∽；
(2)为中点，为的中点，且，，
，，
∵∽，，即，
解得：，即的值为.
【点睛】
本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
26、（1）矩形，4 ；（2）菱形，；（3）详见解析．
【分析】（1）由题意及图形可直接解答；
（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；
（3）根据旋转的性质及题意易得，然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证．
【详解】（1）如图所示：
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ACBF是矩形，AB=4，
AB=CF=4；
故答案为：矩形，4 ；
（2）如图所示：
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ECBF是平行四边形，
点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，
EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，
，，
故答案为：菱形，；
（3）证明：如图所示：
∵
∵
∴
∴
∵
∵
∴为等边三角形
∴
∴
∵
∴四边形ACBF为平行四边形
∵
∴四边形ACBF为矩形．
【点睛】
本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可．
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