江苏省苏州市第三中学2022年数学九年级第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（　　）

A． B． C． D．
2．下列各式中，均不为，和成反比例关系的是( )
A． B． C． D．
3．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（　 　）
①；②；③；④

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是二次函数的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1<y2，其中正确的结论有( )个

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°得△DEC，若AC⊥DE，则∠BAC等于( )

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（　　）

A．2 B．2π C．π D．π
8． “线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
9．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边出来 B．打开电视，正在播放《新闻联播》
C．兰州是甘肃的省会 D．小明跑完所用的时间为分钟
10．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ）
A．抽101次也可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次不可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为______．
12．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，AOB与COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为_____．

13．抛物线与y轴的交点做标为__________．
14．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下：

…
－3
－2
－1
0
…

…
0
－3
－4
－3
…
则关于的方程的解是______.
15．对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：，，，，…，则ab=　 　．
16．现有5张正面分别标有数字0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有整数解的概率为 ．
17．点A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，则点A的坐标为_____．
18．如上图，四边形中，，点在轴上，双曲线过点，交于点，连接.若，，则的值为 ______.

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．

20．（6分）如图1，是内任意一点，连接，分别以为边作（在的左侧）和（在的右侧），使得，，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，交于点，若，点共线，其他条件不变，
①判断四边形的形状，并说明理由；
②当，，且四边形是正方形时，直接写出的长．

21．（6分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，1．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，1，83，80，81，71，81，72，1，82，80，70，2．
整理数据：

七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
b
2
分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级
78
75

八年级
78

80.5
应用数据：
(1)由上表填空：a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
22．（8分）计算：
（1）解不等式组
（2）化简：
23．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．

24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
25．（10分）直线与双曲线只有一个交点，且与轴、轴分别交于、两点，AD垂直平分，交轴于点．
（1）求直线、双曲线的解析式；
（2）过点作轴的垂线交双曲线于点，求 的面积．

26．（10分）抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，连接BC．
（1）如图1，求直线BC的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止，求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线，在新抛物线上，是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：，
，即，
，
，
故选．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2、B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】解：A. ，则，x和y不成比例；
B. ，即7yx=5，是比值一定，x和y成反比例；
C. ，x和y不成比例；
D. ，即y：x=5：8，是比值一定，x和y成正比例.
故选B.
【点睛】
此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择．
3、C
【分析】先根据垂径定理得到，CE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
【详解】∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE，②正确，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，
∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；
又，故①错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
4、A
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴即与y轴交点的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而即可得出abc＜0，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x=1，可得出2a+b=0，结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当x=2时y＞0，进而可得出4a+2b+c＞0，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y1=y2，结论④错误．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，=1，c＞0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x=1，
∴=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标是（-1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④=，，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴y1=y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选择：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
5、B
【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B．
6、B
【分析】根据旋转的性质可求得∠ACD，根据互余关系可求∠D，根据对应角相等即可得∠BAC的大小．
【详解】解：依题意得旋转角∠ACD=50°，
由于AC⊥DE，由互余关系可得∠D=90°-50°=40°，
由旋转后对应角相等，得∠BAC=∠D=40°，
故B选项正确．
【点睛】
本题考查了图形的旋转变化，要分清是顺时针还是逆时针旋转，旋转了多少度，难度不大，但容易出错，细心点即可．
7、C
【解析】根据勾股定理得到OA，然后根据边AB扫过的面积==解答即可得到结论．
【详解】如图，连接OA、OC．
∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==，∴边AB扫过的面积=== =．

故选C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
8、B
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形的性质求解．
【详解】∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后原图形重合．
9、C
【分析】由题意根据必然事件就是一定发生的事件，依据定义依次判断即可．
【详解】解：A. 明天太阳从西边出来，为不可能事件，此选项排除；
B. 打开电视，正在播放《新闻联播》，为不一定事件，此选项排除；
C. 兰州是甘肃的省会，为必然事件，此选项当选；
D. 小明跑完所用的时间为分钟，为不一定事件，此选项排除.
故选：C.
【点睛】
本题考查必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10、A
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【详解】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，抽101次也可能没有抽到一等奖．
故选：A．
【点睛】
本题考查概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（1，0）
【分析】通过解方程x2-2x+1=0得抛物线与x轴交点的交点坐标．
【详解】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以抛物线与x轴交点的交点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
12、1
【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，两个对应角相等证明OAB∽OCD，其性质得，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m＝，线段的中点，反比例函数的性质求出k的值为1．
【详解】解：如图所示：

∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴OAB∽OCD，
∴，
若＝m，
由OB＝m•OD，OA＝m•OC，
又∵，，
∴＝，
又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，
∴，
解得：m＝或m＝ (舍去)，
设点A、B的坐标分别为(0，a)，(b，0)，
∵，
∴点C的坐标为(0，﹣a)，
又∵点E是线段BC的中点，
∴点E的坐标为()，
又∵点E在反比例函数上，
∴＝﹣＝，
故答案为：1．
【点睛】
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，三角形的面积公式等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值．
13、 (0，9)
【分析】令x=0，求出y的值，然后写出交点坐标即可．
【详解】解：x=0时，y=-9，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-9）．
故正确答案为：(0，-9)．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．
14、，
【分析】首先根据与函数的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解.
【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得

解得
∴二次函数解析式为
∴方程为

∴方程的解为，
故答案为，.
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
15、
【解析】试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案：
∵，，，，…，
∴。
16、
【详解】首先根据一元二次方程有实数解可得：
4－4(a－2)≥0
可得：a≤3，
则符合条件的a有0,1,2,3四个；
解分式方程可得：x=，
∵x≠2，则a≠1，a≠2，
综上所述，则满足条件的a为0和3，
则P=.
考点：(1)、概率；(2)、分式方程的解.
17、（2，﹣1）．
【解析】关于原点对称的两个坐标点，其对应横纵坐标互为相反数.
【详解】解：由题意得m=2，n-2=-n，解得n=1，故A点坐标为（2，﹣1）．
【点睛】
本题考查了关于原点中心对称的两个坐标点的特点.
18、6
【分析】如图，过点F作交OA于点G，由可得OA、BF与OG的关系，设，则，结合可得点B的坐标，将点E、点F代入
中即可求出k值.
【详解】解：如图，过点F作交OA于点G，则

设，则

，即
双曲线过点，点

化简得，即
解得，即.
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图像，灵活利用坐标表示线段长和三角形面积是解题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AO，再根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；

（2）根据勾股定理：
线段AO旋转时扫过的面积为：＝．
【点睛】
此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
20、（1）证明见解析；（2）①四边形是矩形．理由见解析；②．
【分析】（1）根据,得到,,再证,
方法一:通过证明,,从而四边形是平行四边形, ,所以为矩形.
方法二:证明
方法三:证,,．
【详解】（1）∵，
∴，．
∴，，即．．
∴．
（2）①四边形是矩形．理由如下：
方法一：由（1）知，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，∴，．
∴，，即．
∴． ∴．
∵． ∴．
∴．∴．∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，，点共线，∴．
∴四边形是矩形．
方法二：如图

由（1）知，∴．
∵，，点共线，∴．
∴，．
又∵，∴．
∴．
∴．
∵,
∴，即．
∴．
∵，∴，
∴，，即．
∴，∴．
∵，，点共线，
∴．
∴，．
∴，即．
∴．
∵，，
∴四边形是矩形．
方法三：由（1）知，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
由（1）知，∴．
∵，，点共线，∴．
∴，．
又∵，∴，∴．
∴．
∵，∴，即．
∴． ∵，∴．
∴四边形是矩形．
②
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质以及矩形的性质.
21、 (1) 11 ， 10 ， 78 ， 81 ；(2)90人；(3) 八年级的总体水平较好
【解析】(1)根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
(2)利用样本估计总体思想求解可得；
(3)答案不唯一，合理均可．
【详解】解：(1)由题意知，
将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，1，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，
∴其中位数，
八年级成绩的众数，
故答案为：11，10，78，81；
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有(人)；
(3)八年级的总体水平较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，
∴八年级得分高的人数相对较多，
∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好(答案不唯一，合理即可)．
【点睛】
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
22、（1）；（2）．
【分析】（1）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；
（2）根据分式的减法法则即可得．
【详解】（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、分式的减法运算，熟练掌握不等式组的解法和分式的运算法则是解题关键．
23、证明详见解析．
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAD=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
试题解析：证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAD=∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．
考点：相似三角形的判定．
24、（1）y＝﹣，y＝﹣x+1；（2）x＜﹣3或0＜x＜6；（3）点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）
【分析】（1）先利用三角函数求出OD，得出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，将点A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论；
（2）根据图象直接得出结论；
（3）设出点E坐标，进而表示出AE，OE，再分OA=OE，OA=AE，OE=AE三种情况，建立方程求解即可得出结论．
【详解】∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝4，
∴sin∠AOD＝＝＝，
∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣3，4），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣上，
∴﹣2n＝﹣12，
∴n＝6，
∴B（6，﹣2），
∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；
（2）由图象知，满足kx+b＞的x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜6；
（3）设点E的坐标为（0，a），
∵A（﹣3，4），O（0，0），
∴OE＝|a|，OA＝5，AE＝，
∵△AOE是等腰三角形，
∴①当OA＝OE时，|a|＝5，
∴a＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当OA＝AE时，5＝，
∴a＝8或a＝0（舍），
∴P（0，8），
③当OE＝AE时，|a|＝，
∴a＝，
∴P（0，），
即：满足条件的点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
25、（1）；；（2）．
【分析】（1）由题意利用待定系数法求一次函数以及反比例函数解析式即可；
（2）根据题意求出BE和BD的值，运用三角形面积公式即可得解.
【详解】解：（1）由已知得，，
∴.
将点、点坐标代入，
得，解得，
直线解析式为；
将点坐标代入得，
∴反比例函数的解析式为.
（2）∵E和B同横轴坐标，
∴当时，即 ，
∵，，D（1，0）
∴BD=1，即为以BE为底的高，
∴.
【点睛】
本题考查反比例函数和几何图形的综合问题，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式以及运用数形结合思维分析是解题的关键.
26、（1）（2）点Q按照要求经过的最短路径长为（3）存在，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）
【分析】（1）先求出点，，的坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出，再利用三角形的面积公式得出，即可得出结论；
（3）先确定出平移后的抛物线解析式，进而求出，在判断出建立方程即可得出结论．
【详解】解：（1）令，得，∴，．
∴ A（，0），B（，0）．
令，得．
∴C(0,3)．
设直线BC的函数表达式为，把B（，0）代入，得．
解得，．
所以直线BC的函数表达式为．
（2）过P作PD⊥轴交直线BC于M．
∵ 直线BC表达式为 ，
设点M的坐标为 ，则点P 的坐标为．
则．
∴．
∴此时，点P坐标为（，）．
根据题意，要求的线段PG+GH+HF的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上．如图1，作点P关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，交轴于点G,交轴于点H．根据轴对称性可得，．
此时PG+GH+HF的最小值=．

∵ 点P坐标为（，），∴ 点的坐标为（，）．
∵ 点F是线段BC的中点，
∴ 点F的坐标为（，）．
∴ 点的坐标为（，）．
∵ 点，P两点的横坐相同，∴⊥轴．
∵ ，P两点关于轴对称，∴⊥轴．
∴ ．
∴．
即点Q按照要求经过的最短路径长为．
（3）如图2，在抛物线中，

令，
，
或，
由平移知，抛物线向右平移到，则平移了个单位，，
设点，
过点作轴交于，
直线的解析式为，
，

的面积等于的面积，
，
由（2）知，，
，
，
或或或（舍，
，或，或，．
综上所述，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，利用轴对称确定最短路径，平移的性质，解绝对值方程，解本题的关键是确定出和．