资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点是上的点，，则是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数,当时，则( )
A． B． C． D．
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2
4．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．有下列结论：
①当时，；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（ ）
A．8 B． C．7 D．
7．下面是“育”“才”“水”“井"四个字的甲骨文，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A． ∥ B．||=2 C．||=﹣2|| D． =﹣
9．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④：那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是（）
A．（1），（2） B．（2），（4） C．（2），（3） D．（1），（4）
10．抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点A关于原点的对称点坐标为(﹣1，2)，则点A关于x轴的对称点的坐标为_________
12．分解因式：x2﹣2x＝_____．
13．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____．
14．如图，已知的面积为48，将沿平移到，使和重合，连结交于，则的面积为__________．
15．在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点．若点, 则的坐标为__________．
16．如图，在中，，，，用含和的代数式表示的值为：_________．
17．已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是________．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线和双曲线．直线与双曲线的一个交点为点轴于点，则此反比例函数的解析式为_______________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，⊙O的半径为，A、B为⊙O上两点，C为⊙O内一点，AC⊥BC，AC=，BC=．
（1）判断点O、C、B的位置关系；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．（6分）如图，A，B，C是⊙O 上的点，AC＝BC，OD＝OE．求证：CD＝CE．
21．（6分）如图，斜坡AF的坡度为5：12，斜坡AF上一棵与水平面垂直的大树BD在阳光照射下，在斜坡上的影长BC=6.5米，此时光线与水平线恰好成30°角，求大树BD的高．（结果精确的0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
22．（8分）如图，已知中，以为直径的⊙交于，交于，,求的度数.
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）反比例函数的解析式为____________，点的坐标为___________；
（2）观察图像，直接写出的解集；
（3）是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若的面积为3，求点的坐标．
24．（8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
25．（10分）在直角坐标平面内，直线分别与轴、轴交于点，.抛物线经过点与点，且与轴的另一个交点为.点在该抛物线上，且位于直线的上方.
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结，，且交于点，如果的面积与的面积之比为，求的余切值；
（3）过点作，垂足为点，联结.若与相似，求点的坐标.
26．（10分）如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点A、C．点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16.
（1）求证:△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
（3）设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】本题利用弧的度数等于所对的圆周角度数的2倍求解优弧度数，继而求解劣弧度数，最后根据弧的度数等于圆心角的度数求解本题．
【详解】如下图所示：
∵∠BDC=120°，
∴优弧的度数为240°，
∴劣弧度数为120°．
∵劣弧所对的圆心角为∠BOC，
∴∠BOC=120°．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆的相关概念，解题关键在于清楚圆心角、圆周角、弧各个概念之间的关系．
2、D
【分析】因为=，对称轴x=1，函数开口向下，分别求出x=-1和x=1时的函数值即可；
【详解】∵=，
∴当x=1时，y有最大值5；
当x=-1时，y==1；
当x=2时，y==4；
∴当时，；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
3、D
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：1，∴DF：AB=1：1．∵DC=AB，∴DF：DC=1：1，∴DF：FC=1：2．故选D．
4、C
【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.
【详解】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．
5、C
【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜1，结合抛物线对称轴为x=-=1，可得出b=-2a，将b=-2a代入2a+b中，结合a＜1即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（-1，1）代入抛物线解析式中，再结合b=-2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．
【详解】解：①由抛物线的对称性可知：
抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2-（-1）=2，
即点B的坐标为（2，1），
∴当x=2时，y=1，①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜1．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x=-=1，
∴b=-2a，
2a+b=a＜1，②不正确；
③∵抛物线与y轴的交点在（1，2）、（1，2）之间（包含端点），
∴2≤c≤2．
令x=-1，则有a-b+c=1，
又∵b=-2a，
∴2a=-c，即-2≤2a≤-2，
解得：-1≤a≤-，③正确；
④∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴n==c- ,
又∵b=-2a，2≤c≤2，-1≤a≤-，
∴n=c-a，≤n≤4，④正确．
综上可知：正确的结论为①③④．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．
6、C
【分析】证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD＝AB＝4，由三角函数定义求出CD＝3，即可得出答案．
【详解】解：交于点，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故选：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．
7、C
【解析】根据中心对称图形与轴对称图形的区别判断即可，轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合,关键抓两点：一是沿某直线折叠,二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,关键也是抓两点：一是绕某一点旋转,二是与原图形重合．
【详解】解：A.不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称图形与中心对称图形的判断，熟记二者的区别是解题的关键.
8、C
【详解】解：∵是单位向量，且，，
∴，， ， ，
故C选项错误，
故选C.
9、B
【分析】先判断出算式中A、B、C、D表示的图形，然后再求解A*D，A*C．
【详解】∵A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④
可得出A对应竖线、B对应大正方形、C对应横线，D对应小正方形
∴A*D为竖线和小正方形组合，即（2）
A*C为竖线和横线的组合，即（4）
故选：B
【点睛】
本题考查归纳总结，解题关键是根据已知条件，得出A、B、C、D分别代表的图形．
10、A
【解析】试题分析：根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．
∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴ 解得6≤c≤14
考点：二次函数的性质
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (1，2)
【分析】利用平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求出点A的坐标，再利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出A点关于x轴的对称点的坐标．
【详解】解：∵点A关于原点的对称点的坐标是（-1，2），
∴点A的坐标是（1，-2），
∴点A关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12、x(x﹣2)
【分析】提取公因式x，整理即可．
【详解】解：x2﹣2x＝x(x﹣2)．
故答案为：x(x﹣2)．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
13、2:1
【解析】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．
故答案为2：1.
点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
14、24
【解析】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小,可得∠B=∠A´CC´,BC=B´C´，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥ AB,然后求出CD=AB，点C"到A´B´的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解.也可用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求．
【详解】解：根据题意得
∠B=∠A´CC´,BC=B´C´,
∴CD//AB,CD= AB(三角形的中位线)，
点C´到A´C´的距离等于点C到AB的距离，
∴△CDC´的面积
=△ABC的面积，
=×48
=24
故答案为：24
【点睛】
本题考查的是三角形面积的求法之一，等高的三角形的面积比等于底的比，也可用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求得．
15、
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.
【详解】由题意，得
和是以坐标原点为位似中心的位似图形，相似比为2
则的坐标为，
故答案为：.
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.
16、
【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ADC中用AC和的三角函数表示出AB和AD，进一步即可求出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵，∴，
在Rt△ADC中，∵，∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角函数的知识，属于常考题型，熟练掌握正弦的定义是解题的关键．
17、
【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（1，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜1．
故答案为：-1＜x＜1．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
18、
【分析】根据题意易得点A、B、D的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而可得点C坐标，然后根据待定系数法即可求得结果．
【详解】解：由已知，得，
设一次函数解析式为，因为点A、B在一次函数图象上，，解得：，则一次函数解析式是，
因为点在一次函数图象上，所以当时，，即，
设反比例函数解析式为，∵点在反比例函数图象上，则，所以，
∴反比例函数解析式是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及函数图象上点的坐标特征，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）O、C、B三点在一条直线上，见解析；（2）
【分析】（1）连接OA、OB、OC，证明∠ABC=∠ABO=60°，从而证得O、C、B三点在一条直线上；
（2）利用扇形面积与三角形面积的差即可求得答案.
【详解】（1）答：O、C、B三点在一条直线上．
证明如下：连接OA、OB、OC，
在中，
,
∵
∴∠ABC=60°，
在中，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
故点C在线段OB上，即O、C、B三点在一条直线上．
（2）如图，
由（1）得：△OAB是等边三角形，
∴∠O=60°，
∴
．
【点睛】
本题考查了扇形面积公式与三角形面积公式，勾股定理、特殊角的三角函数值，利用证明∠ABC=∠ABO=60°，证得O、C、B三点在一条直线上是解题的关键.
20、详见解析
【分析】根据AC＝BC，得出∠AOC=∠BOC，再根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【详解】解：证明：连接
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SAS）
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
21、大树的高约为6.0米．
【分析】作CM⊥DB于点M，已知BC的坡度即可得到BM和CM的比值，在Rt△MBC中，利用勾股定理即可求得BM和MC的长度，再在Rt△DCM中利用三角函数求得DM的长，由BD=BM+DM即可求得大树BD的高．
【详解】作CM⊥DB于点M，
∵斜坡AF的坡度是1：：2.4，∠A=∠BCM，
∴==，
∴在直角△MBC中，设BM=5x，则CM=12x．
由勾股定理可得：BM2+CM2=BC2，
∴（5x）2+（12x）2=6.52，
解得：x=，
∴BM=5x=，CM=12x=6，
在直角△MDC中，∠DCM=∠EDG=30°，
∴DM=CM•tan∠DCM=6tan30°=6×=2，
∴BD=DM+BM=+2≈2.5+2×1.732≈6.0（米）．
答：大树的高约为6.0米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形模型是解决问题的关键．
22、40°
【分析】连接AE，判断出AB=AC，根据∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
【详解】解：连接
∵是⊙的直径.
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，把圆周角转化为圆心角是解题的关键．
23、（1）y=；（4，2）；（2）x＜-4或0＜x＜4；（3）P（2， ）或P（2，4）．
【分析】（1）把A（a，-2）代入y=x，可得A（-4，-2），把A（-4，-2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）观察函数图象，由交点坐标即可求解；
（3）设P（m，），则C（m，m），根据△POC的面积为3，可得方程m×|m-|=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）把A（a，-2）代入y=x
可得a=-4，
∴A（-4，-2），
把A（-4，-2）代入y=，可得k=8，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）．
故答案为：y=；（4，2）；
（2）x-＜0的解集是x＜-4或0＜x＜4；
（3）设P（m，），则C（m，m），
依题意，得m•|m-|=3，
解得m=2或m=2，（负值已舍去）．
∴P（2， ）或P（2，4）．
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
24、（1）证明见解析；（2）AD=2．
【解析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【详解】（1）如图，连接OA，交BC于F，
则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
25、（1）；（2）；（3）的坐标为或
【分析】（1）先根据直线表达式求出A,C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）过点作于点，先求出点B的坐标，再根据面积之间的关系求出点E的坐标，然后利用余切的定义即可得出答案；
（3）若与相似，分两种情况：若，；若时， ，分情况进行讨论即可.
【详解】（1）当时， ，解得 ，∴
当时， ，∴
把，两点的坐标代入，
得，解得，
.
（2）过点作于点，
当时，
解得
∴，
，
，
，
，
.
，
.
（3），，
①若，,则
点的纵坐标为2，把代入
得或（舍去），
.
②若时，
过点作轴于点，过点作交轴于点，
，
，
，
，
设，则，
，
.
∵，
∴
∴，
，
设，代入
得（舍去）或者，
.
综上所述，的坐标为或.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，待定系数法，三角函数，掌握相似三角形的判定方法和分情况讨论是解题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）点P的坐标为（2，4）；（3）点Q的横坐标为：或.
【分析】（1）利用PB∥OC，即可证明三角形相似；
（2）由一次函数解析式，先求点A、C的坐标，由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值，从而可求出点P的坐标即可；
（3）把P坐标代入求出反比例函数，设Q点坐标为（n，），根据△BQD与△AOC相似分两种情况，利用线段比联立方程组求出n的值，即可确定出Q坐标．
【详解】（1）证明：∵PB⊥ x轴，OC⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP；
（2）解：对于直线y=x+3，
令x=0，得y=3；
令 y=0，得x=-6 ；
∴A(-6，0)，C(0，4)，
∴OA=6，OC=3.
∵△AOC∽△ABP，
∴，
∵S△ABP=16，S△AOC=，
∴，
∴，即，
∴PB=4，AB=8，
∴OB=2，
∴点P的坐标为：（2，4）.
（3）设反比例函数的解析式为：y=，
把P(2，4)代入，得k=xy=2×4=8，
∴y=.
点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为：（n，）(n＞2)，
则BD=，QD=，
①当△BQD∽△ACO时，，
即，
整理得：，
解得：或；
②当△BQD∽△CAO时，，
即，
整理得：，
解得：，（舍去），
综上①②所述，点Q的横坐标为：1+或1+.
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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