资源描述
太原市2018年高三年级模拟试题(二)
理科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设为全集,集合满足,,则下列结论中不成立的是( )
A. B. C. D.
2.若复数的实部与虚部相等,则实数的值为( )
A. B. C. D.3
3.下列命题中错误的是( )
A.若命题,使得,则,都有
B.若随机变量~,则
C.设函数,则函数有两个不同的零点
D. “”是“”的充分必要条件
4.已知椭圆的左右顶点分别是,左右焦点分别是,若成等比数列,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”,如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为( )
(参考数据:,)
A. 6 B.12 C. 24 D.48
6.已知,,,则( )
A. B. C. D.
7.已知函数(且),若函数的图像上有且仅有一对关于轴对称,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛(每支球队与其他7支球队各比赛一场),计分规则是:胜一局得2分,负一局得0分,平局双方各得1分,下面关于这8支球队的得分叙述正确的是( )
A.可能有两支球队得分都是14分 B.各支球队最终得分总和为56分
C. 各支球队中最高得分不少于8分 D.得奇数分的球队必有奇数个
9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )
A. 72 B.48 C.24 D.16
10.已知函数(),其图像与直线相邻两个交点的距离为,若对恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知不等式,表示的平面区域为,若存在点,使得,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.的展开式中含有的项的系数是 .
14.设为双曲线上一点,分别是双曲线的左右焦点,若,则 .
15.已知球是正三棱锥的外接球,,,点在线段上,且,过点作球的截面,则所得截面中面积最小的截面圆的面积是 .
16.中,,且,若,则实数的值是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知数列的前项和,数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求.
18. 按照国家质量标准:某种工业产品的质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 某企业有甲乙两套设备生产这种产品,为了检测这两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频率分布表,图1是乙套设备的样本频率分布直方图.
(1)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;
(2)根据表1和图1,对甲、乙两套设备的优劣进行比较;
(3)将频率视为概率,若从甲套设备生产的大量产品中,随机抽取3件产品,记抽到的不合格品的个数为,求的期望.
附:
19. 如图,在四棱锥中,底面是圆内接四边形,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若点在侧面内运动,且平面,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20. 已知平面曲线上任意一点到点和直线上一点作曲线的两条切线,切点分别为.
(1)求证:直线过定点;
(2)若直线交曲线于,两点,,,求的值.
21. 已知.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求函数的极值;
(2)若恒成立,求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
已知点是曲线上的动点,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,以极点为中心,将点逆时针旋转得到点,设点的轨迹方程为曲线.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)射线与曲线,分别交于两点,定点,求的面积.
23.选修4-5:不等式选讲
已知实数满足.
(1)求证:;
(2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: DACAC 6-10: DCBCD 11、12:BD
二、填空题
13. 60 14. 15. 16.
三、解答题
17.(1)当时,, ①
,②
① - ②得:,
所以,当时,,所以,.
(2)
则
18.(1)根据表1和图1得到列联表:
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得:
∵,
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
(2)根据表1和图1可知,甲套设备生产的合格品的概率约为,乙套设备生产的合格品的概率约为,甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在之间,乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散,因此,可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标值更稳定,从而甲套设备优于乙套设备.
(3)由题知,,
∴.
19.(1)证明:连接,交于点,连接,
∵,,∴,
又因为底面是圆内接四边形,
∴,是直径,
又∵,,故面,,
由,,可得:,
所以,,则,故,
所以平面,平面平面.
(2)取的中点,的中点,连接,
则,易知,,
∴平面平面,∴点在线段上.
建立如图空间直角坐标系,
则,,,,,,
,
设平面的一个法向量为,则,取,
设,可得
设直线与平面所成角为,则,
∵,∴当时,取得最大值.
20.(1)证明:由已知条件可得曲线的方程为:.
设点,,,
∵,∴,
∴过点的切线方程分别为,,
由,,上述切线方程可化为,,
∵点在这两条切线上,∴,,
即直线的方程为,
故直线过定点.
(2)设,,由,及,得:
,得
∴
由题意,直线的斜率存在,故的方程为,即
联立,得,∴,,
∴.
21.(1),
依题意,有,解得:,,
则,由,得,,
当时,;当时,,
当时,,
所以在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数.
所以在处取得极小值,极小值为;
在处取得极大值,极大值为.
(2)原不等式等价于,令,
①当时,的定义域为,
ⅰ)当时,当时,,∴此时不符合题意,
ⅱ)当时,;
② 当时,的定义域为,
ⅰ)当时,∵,∴此时不符合题意,
ⅱ)当时,设直线与相切于点,
则,∴,
∴,
令,则,
令,则;令,则,
∴,
当时,,∴此时不符合题意,
综上,的最大值为.
22.(1)曲线的极坐标方程为.
设,,于是,
所以,曲线的极坐标方程为.
(2)到射线的距离为,
,
则.
23.(1)证明:.
(2)由及,可得,所以,
当且仅当,或,时取等号.
因为对任意,恒成立,所以.
当时,,不等式恒成立;
当时,,由,得;
当时,,不等式不成立;
综上可得,实数的取值范围是.
展开阅读全文