山西太原2018届高三二模理科数学试题+Word.doc

太原市2018年高三年级模拟试题（二）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设为全集，集合满足，，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
3.下列命题中错误的是（ ）
A．若命题，使得，则，都有
B．若随机变量～，则
C．设函数，则函数有两个不同的零点
D． “”是“”的充分必要条件
4.已知椭圆的左右顶点分别是，左右焦点分别是，若成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）
（参考数据：，）

A． 6 B．12 C. 24 D．48
6.已知，，，则（ ）
A． B． C. D．
7.已知函数（且），若函数的图像上有且仅有一对关于轴对称，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
8.某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛（每支球队与其他7支球队各比赛一场），计分规则是：胜一局得2分，负一局得0分，平局双方各得1分，下面关于这8支球队的得分叙述正确的是（ ）
A．可能有两支球队得分都是14分 B．各支球队最终得分总和为56分
C. 各支球队中最高得分不少于8分 D．得奇数分的球队必有奇数个
9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A． 72 B．48 C.24 D．16
10.已知函数（），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11.已知不等式，表示的平面区域为，若存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中含有的项的系数是 ．
14.设为双曲线上一点，分别是双曲线的左右焦点，若，则 ．
15.已知球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是 ．
16.中，，且，若，则实数的值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
18. 按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频率分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图.

（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

（2）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；
（3）将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.
附：

19. 如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若点在侧面内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20. 已知平面曲线上任意一点到点和直线上一点作曲线的两条切线，切点分别为.
（1）求证：直线过定点；
（2）若直线交曲线于，两点，，，求的值.
21. 已知.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）若恒成立，求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于两点，定点，求的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知实数满足.
（1）求证：；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

试卷答案
一、选择题
1-5: DACAC 6-10: DCBCD 11、12：BD
二、填空题
13. 60 14. 15. 16.
三、解答题
17.(1)当时，， ①
，②
① - ②得：，
所以，当时，，所以，.
（2）
则

18.（1）根据表1和图1得到列联表：

甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得：

∵，
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
（2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.
（3）由题知，，
∴.
19.（1）证明：连接，交于点，连接，
∵，，∴，
又因为底面是圆内接四边形，
∴，是直径，
又∵，，故面，，
由，，可得：，
所以，，则，故，
所以平面，平面平面.

（2）取的中点，的中点，连接，
则，易知，，
∴平面平面，∴点在线段上.
建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，则，取，
设，可得
设直线与平面所成角为，则，
∵，∴当时，取得最大值.
20.（1）证明：由已知条件可得曲线的方程为：.
设点，，，
∵，∴，
∴过点的切线方程分别为，，
由，，上述切线方程可化为，，
∵点在这两条切线上，∴，，
即直线的方程为，
故直线过定点.
（2）设，，由，及，得：
，得
∴
由题意，直线的斜率存在，故的方程为，即
联立，得，∴，，
∴.
21.（1），
依题意，有，解得：，，
则，由，得，，
当时，；当时，，
当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数.
所以在处取得极小值，极小值为；
在处取得极大值，极大值为.
（2）原不等式等价于，令，
①当时，的定义域为，
ⅰ）当时，当时，，∴此时不符合题意，
ⅱ）当时，；
② 当时，的定义域为，
ⅰ）当时，∵，∴此时不符合题意，
ⅱ）当时，设直线与相切于点，
则，∴，
∴，
令，则，
令，则；令，则，
∴，
当时，，∴此时不符合题意，
综上，的最大值为.
22.（1）曲线的极坐标方程为.
设，，于是，
所以，曲线的极坐标方程为.
（2）到射线的距离为，
，
则.
23.（1）证明：.
（2）由及，可得，所以，
当且仅当，或，时取等号.
因为对任意，恒成立，所以.
当时，，不等式恒成立；
当时，，由，得；
当时，，不等式不成立；
综上可得，实数的取值范围是.