概率统计模拟试题1-4解答.doc

模拟试题（一）参考答案
一.单项选择题（每小题2分,共16分）
1.设为两个随机事件,若,则下列命题中正确的是（ ）
(A) 与互不相容 (B) 与独立
(C) (D) 未必是不可能事件
解 若为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.
2.设每次试验失败的概率为,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为,故所求概率为.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.
3.若函数是一随机变量的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ）
(A) 非负 (B) 的值域为
(C) 单调非降 (D) 在内连续
解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,是定义在上的非负函数,且满足,所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从上的均匀分布的随机变量的概率密度

在与处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A.
4.若随机变量的概率密度为,则（ ）
(A)  (B)  (C) (D)
解 的数学期望,方差,令,则其服从标准正态分布.故本题应选A.
5.若随机变量不相关,则下列等式中不成立的是（ ）
(A) (B) 
(C) (D)
解 因为,故
,
,
但无论如何,都不成立.故本题应选C.
6.设样本取自标准正态分布总体,又分别为样本均值及样本标准差,则（ ）
(A) (B) 
(C) (D)
解 ,,,只有C选项成立.本题应选C.
7.样本 取自总体,则下列估计量中,（ ）不是总体期望的无偏估计量
(A) (B)
(C) (D)
解 由无偏估计量的定义计算可知,不是无偏估计量,本题应选A.
8.在假设检验中,记为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ）
(A) 成立,经检验接受 (B) 成立,经检验拒绝
(C) 不成立,经检验接受 (D) 不成立,经检验拒绝
解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.
二.填空题（每空2分,共14分）
1.同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________.
解 ;.
2.设随机变量服从一区间上的均匀分布,且,则的概率密度为________.
解 设,则解得, ,
所以的概率密度为
3.设随机变量服从参数为2的指数分布,服从参数为4的指数分布,则________.
解 .
4.设随机变量和的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有________.
解 根据切比雪夫不等式,
.
5.假设随机变量服从分布,则服从分布________（并写出其参数）.
解 设,其中,,且,从而.
6.设为来自总体的一个样本,对总体方差进行估计时,常用的无偏估计量是________.
解 .
三.(本题６分)
设,,,求.
解 由全概率公式可得
.
.
四.(本题8分)
两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:
(1) 任取一个零件是合格品的概率,
(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.
解 设分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.表示产品是合格品的事件.
(1) 由全概率公式可得
.
(2) .
五.(本题14分)
袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:
(1) 的联合分布； (2) 的边缘分布；
(3) 是否独立； (4) .
解 （1）
　　 　 1 2 3
　　 1 　0
2 　
3 　 0
（2）,,.
,,.
（3）因为,故不独立.
（4）.
六.(本题12分)
设随机变量的密度函数为
,
试求:
(1) 的值； (2) ； (3) 的密度函数.
解 (1) 因,从而;
(2)
;
(3) 当时,;当时,

,
所以,两边关于求导可得,

故的密度函数为

七.(本题6分)
某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.
解 设(),表示购买该种商品的人数,则.又设商品预备件该种商品,依题意,由中心极限定理可得

.
查正态分布表得,解得件.
八.(本题10分)
一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为.
(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数为总体,即 求总体的分布；
(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为的样本,其中有个白球,求比数的最大似然估计值.
解

（1） 1 0

即 ;
（2）,
两边取对数,
,
两边再关于求导,并令其为0,得
,
从而,又由样本值知,,故估计值为.
九.(本题14分)
对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:）:
批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；
批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141.
已知元件电阻服从正态分布,设,问:
(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等?
(2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异?
（,）
解 (1) .
检验统计量为
（在成立时）,
由,查得临界值,.
由样本值算得,由于,故不能拒绝,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.
(2) .
统计量
（在成立时）,
查表得临界值.再由样本值算得
,
因为,故接收.即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.

模拟试题（二）参考答案
一.单项选择题（每小题2分,共16分）
1.设表示3个事件,则表示（ ）
(A) 中有一个发生 (B) 中不多于一个发生
(C) 都不发生 (D) 中恰有两个发生
解 本题应选C.
2.已知=（ ）.
(A) (B) (C) (D)
解 ,
.
故本题应选A.
3.设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布和,则（ ）
(A) (B)
(C) (D)
解 ,,故本题应选B.
4.设与为两随机变量,且,则（ ）
(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6
解 ,
.
故本题应选C.
5.若随机变量服从参数为的泊松分布,则的数学期望是（ ）
(A)  (B)  (C)   (D)
解 ,本题应选D.
6.设是来自于正态总体的简单随机样本,为样本方差,记

则服从自由度为的分布的随机变量是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
解 ,,再由分布的定义知,本题应选B.
7.设总体均值与方差都存在,且均为未知参数,而 是该总体的一个样本,为样本方差,则总体方差的矩估计量是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
解 本题应选D.
8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ）
(A) 都增大 (B) 都减小
(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小
解 本题应选B.
二.填空题（每空2分,共14分）
1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.
解 设表示两件中有一件不合格品,表示两件都是不合格品.则所求的极限为
2.设随机变量服从分布,则的分布函数为________.
解 服从0-1分布,其分布函数为
3.若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,则=________.
解 ,即其密度函数关于对称.由对称性知
.
4.设总体服从参数为的0－1分布,其中未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.
解 由定义计算知;.
5.设总体服从参数为的指数分布,现从中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知,那么的矩估计值为________.
解 .
6.设总体,且未知,用样本检验假设时,采用的统计量是________.
解 (为真时).
三.（本题8分）
设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:
（1）取到的球是黑球的概率；
（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.
解 设分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,表示取到黑球.
(1) 由全概公式可得
0.342;
(2) 由贝叶斯公式得
0.682.
四.（本题6分）
设随机变量的概率密度为
,
对独立地重复观察4次,用表示观察值大于地次数,求的数学期望.
解 ,,从而
.
五.（本题12分）
设的联合分布律为

0 1 2
1 0.1 0.05 0.35
2 0.3 0.1 0.1
问:(1) 是否独立；
(2) 计算的值；
(3) 在的条件下的条件分布律.
解 (1) 因为
,
所以不独立;
(2) ;
(3) ,
.
六.（本题12分）
设二维随机变量的概率密度为

求:(1) 的边缘密度函数；
(2) ；
(3) .
解 (1)

(2) ;
(3) .
七.（本题6分）
一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为mm时产品合格,试求产品合格的概率.
解 设表示第部分的长度,,表示部件的长度.由题意知,,且,,.由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为

.
八.（本题7分）
设总体具有概率密度为

其中为已知正整数,求的极大似然估计.
解 设是来自总体的样本,当时,似然函数
,
两边取对数,
,
关于求导,并令其为0,得
,
从而解得的极大似然估计为
.
九.（本题14分）
从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:
东支:,,
西支:,,
若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？
,,
解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.
第一步假设:=,统计量~,
经检验,接受:=；
第二步假设:,
统计量
经检验,接受,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)
十.（本题5分）
设总体的密度函数为

其中为未知参数,为来自总体的样本,证明:是的无偏估计量.
证明
,
故是的无偏估计量.
模拟试题（三）参考答案
一.填空题（每小题2分,共14分）
1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为 .
解 设表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为
,解得,从而射手的命中率为.
2.若事件,独立,且,则 .
解 .
3.设离散型随机变量服从参数为（）的泊松分布,已知,则= .
解 ,从而解得.
4.设相互独立的两个随机变量,具有同一分布律,且的分布律为:

则随机变量的分布律为 .
解 的可能取值为0,1.
.
.
5.设随机变量,的方差分别为,,相关系数,则= .
解 .
6.设总体的期望值和方差都存在,总体方差的无偏估计量是,则 .
解 .
7.设总体,未知,检验,应选用的统计量是 　　　　.
解 (为真时)
二 .单项选择题（每小题2分,共16分）
1.本中文书和本外文书任意往书架上摆放,则本外文书放在一起的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
解 本题应选C.
2.若事件相互独立,则下列正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
解 由独立性的定义知,,故本题应选D.
3.设随机变量服从参数为,的二项分布,且,,则,的值为（ ）
(A) =,= (B) =,=
(C) =,= (D) =,=
解 由,,解得=,=,本题应选A.
4.设随机变量服从正态分布,其概率密度函数为,分布函数为,则有（ ）
(A)
(B)
(C) =,
(D) ,
解 ,故其密度函数关于对称,故本题应选B.
5.如果随机变量与满足:,则下列式子正确的是（ ）
(A) 与相互独立 (B) 与不相关
(C) (D)
解 由,可得,从而可知与不相关,故本题应选B.
6.设是来自总体的样本,为样本均值,令,则（ ）
(A) (B) (C) (D)
解 本题应选A.
7.设是取自总体的样本,可以作为的无偏估计量的统计量是（ ）
(A) (B) (C) (D)
解 由无偏估计的定义及期望的性质知,
,故A选择正确,同理验算其他选项,B,C,D均不正确.故本题应选A.
8.样本来自正态总体,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量
(A) 未知,检验= (B) 已知,检验=
(C) 未知,检验 = (D) 已知,检验=
解 本题应选C.
三.（本题8分）
有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的倍,甲车床的废品率为,乙车床的废品率为,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？
解 设分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得

.
四.（本题8分）
假设一部机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润万元,发生一次故障获利润万元,发生两次故障获利润万元,发生三次或三次以上故障就要亏损万元,问一周内期望利润是多少？
解 设表示一周中所获的利润,其分布律为:
0 5 10

从而由期望的定义计算可得.
五.（本题12分）
1.设随机向量,的联合分布为:

(1) 求,的边际分布；(2) 判断,是否独立.
解 (1) 的边际分布为： 的边际分布为：

(2) 与不相互独立.
2.设随机变量的联合密度函数为:
=
求概率.
解 .
六.（本题8分）
设连续型随机变量的分布函数为:

求: (1) 系数及；
(2) 随机变量的概率密度；
(3) .
解 (1) 由分布函数的性质知
,
,从而;
(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即
=
(3) .
七.（本题8分）
设为总体的一个样本,的概率密度为:
=
其中,求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.
解 令,从而解得的矩估计量为
.
极大似然估计为:
.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)
八.（本题１０分）
设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取位考生的成绩,算得平均成绩为分,标准差为分,问在显著水平下,是否可认为全体考生的平均成绩为分？
解 假设:,选取统计量
, (为真时)
在下,查分布的双侧临界值表知.
另一方面,计算统计量的值
,
从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为分.
九.（本题１２分）
两家银行分别对个储户和个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为=元和=元,样本标准差相应地为元和元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（）
解 此题要求检验,由于检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验与是否相等.
第一步假设:=,统计量~,
经检验,接受:=；
第二步假设:,
统计量
经检验,拒绝,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)
十.（本题４分）
设总体服从参数为的泊松分布,为未知参数,

证明:是的一个无偏估计量.
证明
,
所以是的一个无偏估计量.
模拟试题（四）参考答案
一.填空题(每小题2分,共20分)
1.设=0.4,=0.5.若则 .
解
2.若随机变量服从二项分布,即,则 .
解 .
3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为,则每次击中的概率为 .
解 .
4.设随机变量的概率密度是:且则 .
解 由知,.故
从而.
5.利用正态分布的结论,有: .
解 令,则原式,这里.
6.设总体的密度函数为:

,是来自总体的样本观测值,则样本的似然函数 .
解 .
7.设,是二维随机向量,,都不为零,若有常数与使,这时与是 关系.
解 完全相关.
8.若,是来自总体的样本,分别为样本均值和方差,则服从 分布.
解 .
9.设,,与相互独立.从,中分别抽取容量为的样本,样本均值分别为,则服从分布 .
解 .
10.设随机变量和的相关系数为0.9,若,则与的相关系数为____________.
解 .
二.单项选择题(每小题2分,共12分)
1. 设随机变量的数学期望与均存在,由切比雪夫不等式估计概率为( )
(A) (B) (C) (D)
解 本题应选C.
2.为随机随机事件,且,则下列式子正确的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
解 本题应选A.
3. 设随机变量的密度函数为且,则( ).
(A) (B)
(C) (D)
解 令,,解得,故本题应选D.
4.若随机变量与不相关,则有( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
解 本题应选C.
5.已知随机变量,且,则( ).
(A) (B)
(C) (D)
解
6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:{掷第一次出现正面},{掷第二次出现正面},{正、反面各出现一次},{正面出现两次},则事件( ).
(A) 相互独立 (B) 相互独立
(C) 两两独立 (D) 两两独立
解 ,,,,再由事件独立的充分必要条件可知两两独立,本题应选C.
三.计算题(每小题８分,共48分)
1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,
各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率.
解 (1) 运用全概率公式, 0.09;
(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)
2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第个零件是不合格品的概率为,以表示三个零件中合格品的个数,求:(1) 的概率分布； (2) 的方差.
解 (1)

0
1
2
3

(2) ,
,故.
3.设总体,为未知参数,是来自总体的一组样本值,求的最大似然估计.
解 似然函数,
两边取对数
,
关于求导,并令其为零,得
,
从而解得极大似然估计量为.
4.二维随机变量(,)的联合概率密度:

求: (1) 与之间是否相互独立,判断与是否线性相关；
(2) .
解 (1)

同理

从而
,
故与相互独立,因而与一定不相关.
(2) .
5.某人乘车或步行上班,他等车的时间(单位:分钟)服从参数为的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以表示他一周步行上班的次数.求的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.
解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为
.
故.
.
6.设随机变量的概率密度为

是的分布函数.求随机变量的概率分布.
解
(3) 当时,;
当时,

;
当时,.
故对求导可得的概率密度,

即
四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)
1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.
解 设 (),则

表示400发炮弹命中的发数,且,,故由中心极限定理知,

.
2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算: .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?()
解 .
采用统计量
,在成立时,.
由,查得临界值
, ,
由样本值算得,由于,所以不拒绝,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16.
五.证明题(5分)
若随机变量的密度函数,对任意的,满足:,是其分布函数.证明:对任意实数,有
.
证明
(令)
.
22