长春市2020届高三质量监测数学理科(一).doc

长春市 2020 届高三质量监测（一） 理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合， ，则
A. B. 或≤C. 或 D. 或
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知，，，则
A. B. C. D.
4. 已知直线与圆相切，则
A. B. C. 或 D.
5. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为

A. B. C. D.
7. 已知为直线，平面，则下列说法正确的是
① ，则 ② ，则
③ ，则 ④ ，则
A. ① ② ③ B. ② ③ ④ C. ① ③ D. ① ④
8. 已知数列为等比数列，为等差数列的前项和，且，， ，则
A. B. C. D.
9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到
的图象（部分图象如图所示） ，则的解析式为

A. B.
C. D.
10. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为
A. B. C. D.
11. 已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为
A. B. C. D.
12. 已知函数，若当 时，有解，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13. 展开式中常数项为___________.
14.边长为正三角形中，点满足，则_________.
15.平行四边形中，△是腰长为的等腰直角三角形，，现将△沿折起，使二面角大小为，若四点在同一球面上，则该球的表面积为________.
16.已知数列的前项和为，满足,且，则 =__________， __________.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.（本小题满分 12 分）
△的内角的对边分别为， .
（Ⅰ）求证：△是直角三角形；
（Ⅱ）若，求△的周长的取值范围.
18. （本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥中，⊥底面，，，，为中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的大小.
19.（本小题满分 12 分）
某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确 的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．
（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；
（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.
20.（本小题满分 12 分）
已知点若点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线的方程.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数,.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）令两个零点 ，证明：.
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与圆交于两点，点，求的值.
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲
已知函数 .
（Ⅰ）解关于的不等式 ；
（Ⅱ）若函数的最大值为，设，且，求+ 的最小值.

长春市2020届高三质量监测（一）
数学（理科）试题参考答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. B【解析】，，∴或≤
2. C 【解析】，则，其对应点为，在第三象限
3. C 【解析】，∴
4. C【解析】 由圆心到切线的距离等于半径，得
∴∴
5. D 【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.
6. A【解析】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得
7. D 【解析】①正确； ② 错误；③错误；④正确
8. A【解析】 ，∴，
9. C 【解析】由，由即，横坐标缩短到原来的倍，得，即为解析式.
10. B【解析】由得函数的周期为4，又当时，，且是定义在上的奇函数∴时，，∴当时，此时的最小值为.[法2：由周期为4，在上的最小值即为在上的最小值]
11. C【解析】椭圆的右焦点为，∴∴，，,∴.
12. C【解析】∴在上递减，在上递增，当时，，又，，∵∴

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）
13. 【解析】由有得∴
14. 【解析】

15. 【解析】 取AD,BC的中点分别为,过作面ABD的垂线与过作面BCD的垂线，两垂线交点即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结,则即为二面角的平面角，，连，在Rt△中，，在Rt△中，得，即球半径为，所以球面积为.

16. ，【解析】由得
∴++…+.
由递推得，，，归纳可得.【法2：】
∴∴为首项为，公比为的等比数列，
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题.
【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知，即，
由，可得，即是直角三角形. （6分）
（Ⅱ）的周长，，
由可知，，因此，即. （12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查立体几何相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）取中点，连结、， . （6分）
（Ⅱ）以为原点，以方面为轴，以方向为轴，以方向为轴， 建立坐标系.
可得，，，，，，，
平面的法向量为；
平面的法向量为；
因此. 即平面与平面所成的锐二面角为.（12分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查概率的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为. （4分）
（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为，
则的可能取值为30，35，40，45，50.

该考生本次测验选择题所得分数为的分布列为

30
35
40
45
50

选择题所得分数为的数学期望为. （12分）
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.
因此椭圆的方程为. （4分）
（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，，联立直线与椭圆的方程消去可得
，即，.
面积可表示为

令，则，上式可化为，
当且仅当，即时等号成立，
因此面积的最大值为，此时直线的方程为. （12分）
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知，
单调递增，且，
当时，，当时，；
因此在上单调递减，在上单调递增. （4分）
（Ⅱ）由有两个零点可知
由且可知，
当时，，当时，；
即的最小值为，
因此当时，，
可知在上存在一个零点；
当时，，
可知在上也存在一个零点；
因此，即. （12分）
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）直线的普通方程为，
圆的直角坐标方程为. （5分）
（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得 ，化简可得.
则. （10分）
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）由题意
当时，，可得，即.
当时，，可得，即.
当时，，可得，即.
综上，不等式的解集为. （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的最大值，且，
即，当且仅当时“=”成立，
可得，即，因此的最小值为2. （10分）