资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．关于抛物线y＝x2+6x﹣8，下列选项结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．抛物线过点(0，8)
C．抛物线与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝3
2．如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
3．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的顶点在（ ）
A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限
5．二次函数的图象的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
6．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm
7．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
8．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．当时，顶点的坐标为
C．当时，
D．当时，y随x的增大而增大
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论，其中正确的个数为（ ）
①2a+b＝0②4a﹣2b+c＜0③ac＞0④当y＞0时，﹣1＜x＜4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，正在播放宜春二套 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．地球绕着太阳转
11．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．，，三点在同一直线上
D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知，是关于的方程的两根，且满足，则的值为_______.
14．某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．
15．如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为.则的面积关于的函数图象大致为__________.
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为______．
17．已知实数m，n满足，，且，则= ．
18．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分） [问题发现]
如图①，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，则_____ ;
[拓展提高]
如图②，在等边三角形中，点是的中点，点在边上，直线与相交于点，若，求的值.
[解决问题]
如图③，在中，，点是的中点，点在直线上，直线与直线相交于点，.请直接写出的长.
20．（8分）已知二次函数的图像是经过、两点的一条抛物线.
（1）求这个函数的表达式，并在方格纸中画出它的大致图像；
（2）点为抛物线上一点，若的面积为，求出此时点的坐标.
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，，点是上一点，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
22．（10分）如图1，直线AB与x、y轴分别相交于点B、A，点C为x轴上一点，以AB、BC为边作平行四边形ABCD，连接BD，BD＝BC，将△AOB沿x轴从左向右以每秒一个单位的速度运动，当点O和点C重合时运动停止，设△AOB与△BCD重合部分的面积为S，运动时间为t秒，S与t之间的函数如图（2）所示（其中0＜t≤2，2＜t≤m，m＜t＜n时函数解析式不同）．
（1）点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（2）求S与t的函数解析式，并写出t的取值范围．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA＋PB的最小值为_____．
24．（10分）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）求证：△ABC∽△DOA；
（3）若BC=2，CE=，求AD的长．
25．（12分）某店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件；后经市场调查，发现这种商品每件售价每降低1元，其销量可增加5件．
（1）该店销售该商品原来一天可获利润 元．
（2）设后来该商品每件售价降价元，此店一天可获利润元．
①若此店为了尽量多地增加该商品的销售量，且一天仍能获利2625元，则每件商品的售价应降价多少元？②求与之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该店一天所获利润最大？并求最大利润值．
26．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；
③作直线PA和直线PB.
所以直线PA和PB就是所求作的直线.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵OP是⊙Q的直径，
∴ ∠OAP＝∠OBP＝________°（ ）（填推理的依据）．
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据△的符号，可判断图像与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图像与y轴的交点坐标，利用配方法可求图像的顶点坐标．
【详解】解：A、抛物线y＝x2+6x﹣8中a＝1＞0，则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．
B、x＝0时，y＝﹣8，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），故本选项不符合题意．
C、△＝62﹣4×1×(-8)＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意．
D、抛物线y＝x2+6x﹣8＝（x+3）2﹣17，则该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的开口，与y轴x轴的交点，对称轴等基本性质，掌握二次函数的基本性质是解题的关键.
2、C
【分析】连接BE，设⊙O的半径为r，然后由垂径定理和勾股定理列方程求出半径r，最后由勾股定理依次求BE和EC的长即可．
【详解】解：如图：连接BE
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2
∵OD⊥AB，
∴∠ACO=90°
∴AC=BC=AB=4，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：
r2-42=（r-2）2，解得：r=5
∴AE=2r=10，
∵AE为⊙O的直径
∴∠ABE=90°
由勾股定理得：BE= =6
在Rt△ECB中，EC=．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据题意正确作出辅助线、构造出直角三角形并利用勾股定理求解是解答本题的关键．
3、D
【解析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】
考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
4、B
【分析】将解析式化为顶点式即可得到答案.
【详解】=2(x+0)²-4
得：对称轴为y轴，则顶点坐标为(0,-4),在y轴上，
故选B.
5、B
【分析】根据二次函数的性质，用配方法求出二次函数顶点式，再得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线
=(x+1)2+3
∴抛物线的顶点坐标是：(−1,3)．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了利用配方法求二次函数顶点式以及求顶点坐标，此题型是考查重点，应熟练掌握．
6、D
【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可.
【详解】当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF-OE=1cm；
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF+OE=7cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．
7、C
【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
8、C
【解析】根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴，故A选项正确；
当时，
∴顶点的坐标为，故B选项正确；
当时，由图象知此时
即
∴，故C选项不正确；
∵对称轴为直线且图象开口向上
∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.
9、B
【分析】①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，即可求解；②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即可求解；③a＜0，c＞0，故ac＜0，即可求解；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，即可求解．
【详解】点B坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则点A（3，0），
①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，故①正确，符合题意；
②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确，符合题意；
③a＜0，c＞0，故ac＜0，故③错误，不符合题意；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图像问题，熟悉二次函数图形利用数形结合解题是本题关键.
10、D
【解析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．
【详解】解：、打开电视，正在播放宜春二套，是随机事件，故错误；
、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故错误；
、明天会下雨是随机事件，故错误；
、地球绕着太阳转是必然事件，故正确；
故选：．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11、C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：
a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
12、B
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′，A，O，A′三点在同一直线上，AC∥A′C′，
无法得到CO：CA′=1：2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5
【分析】由韦达定理得，，将其代入即可求得k的值．
【详解】解：、是方程的两个根，
，.
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理与方程的解的定义．
14、10%
【解析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；
2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.
【详解】解：设年平均增长率为x，得
2500(1+x)2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.
所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键.
15、抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
∵
∴△AEF∽△ABC
∴即，
∴y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
∴该函数图象是抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分．
故答案为：抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，根据几何图形的性质确定函数的图象能力．要能根据函数解析式及其自变量的取值范围分析得出所对应的函数图像的类型和所需要的条件，结合实际意义分析得解．
16、3或1
【解析】利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），然后分别计算点（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距离即可．
【详解】若运动后⊙P与y轴相切，
则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），
而-1-（-4）=3，1-（-4）=1，
所以点P的运动距离为3或1．
故答案为3或1．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
17、．
【解析】试题分析：由时，得到m，n是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．
试题解析：∵时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴，．
∴原式===，故答案为．
考点：根与系数的关系．
18、2：1
【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD=2BD，
∴，
∴DE：BC=2：1，
故答案为：2：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系．
三、解答题（共78分）
19、 [问题发现]；[拓展提高]；[解决问题]或.
【分析】[问题发现]由，可知AD是中线，则点P是△ABC的重心，即可得到2∶3；
[拓展提高]过点作交于点，则EF是△ACD的中位线，由平行线分线段成比例，得到，通过变形，即可得到答案；
[解决问题]根据题意，可分为两种情况进行讨论，①点D在点C的右边；②点D在点C的左边；分别画出图形，求出BP的长度，即可得到答案.
【详解】解：[问题发现]：∵，
∴点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∵点是的中点，则BE是△ABC的中线，
∴点P是△ABC的重心，
∴；
故答案为：.
[拓展提高]：过点作交于点.
是的中点，是的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
，
，
，
∴，
，
即.
.
[解决问题]：∵在中，，，
∵点E是AC的中点，
∴，
∵CD=4，
则点D可能在点C的右边和左边两种可能；
①当点D在点C的右边时，如图：过点P作PF⊥CD与点F，
∵，，
∴△ACD∽△PFD，
∴，即，
∴，
∵，，
∴△ECB∽△PBF，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
②当点D在点C的左边时，如图：过点P作PF⊥CD与点F，
与①同理，可证△ACD∽△PFD，△ECB∽△PBF，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
∴或.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，以及三角形的重心，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形.注意运用分类讨论的思想进行解题.
20、（1），图画见解析；（2）或.
【分析】（1）利用交点式直接写出函数的表达式，再用五点法作出函数的图象；
（2）先求得AB的长，再利用三角形面积法求得点P的纵坐标，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知：.
.
∵顶点坐标为：
-1
0
1
2
3
0
3
4
3
0
描点、连线作图如下：
（2）设点P的纵坐标为,
，
∴.
∴或，
将代入，
得：，此时方程无解.
将代入，
得：，解得：；
或.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式以及利用三角形面积法求点的坐标的应用，求函数图象上的点的坐标的问题一般要转化为求线段的长的问题．
21、（1）证明见解析；（2）cos∠ABO=
【分析】（1）过点作点，在中，利用锐角三角函数的知识求出BD的长，再用勾股定理求出OD、AB、BC的长， 所以AB=BC，从而得到∠ACB=∠BAO，然后根据两角分别相等的两个三角形相似解答即可；
（2）在中求出∠BAO的余弦值，根据∠ABO=∠BAO可得答案．
【详解】（1）在平面直角坐标系中，点的坐标为，
，，
，∠OAB=∠ABO，
过点作点，
则，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
∴CD=6-2=4，
∴BC=，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAO，
∴∠ACB=∠ABO=∠BAO，
又∵∠BAC=∠OAB，
（两角分别相等的两个三角形相似）；
（2）在中，
，
∵∠ABO=∠BAO ，
，
即的值为．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22、（1）（2）当0＜t≤2时，S＝，当2＜t≤5时，S＝，当5＜t＜7时，S＝t2﹣14t+1．
【分析】（1）由图象可得当t＝2时，点O与点B重合，当t＝m时，△AOB在△BDC内部，可求点B坐标，过点D作DH⊥BC，可证四边形AOHD是矩形，可得AO＝DH，AD＝OH，由勾股定理可求BD的长，即可得点D坐标；
（2）分三种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）由图象可得当t＝2时，点O与点B重合，
∴OB＝1×2＝2，
∴点B（2，0），
如图1，过点D作DH⊥BC，
由图象可得当t＝m时，△AOB在△BDC内部，
∴4＝×2×DH，
∴DH＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，且DH⊥BC，
∴∠ADH＝∠DHO＝90°，且∠AOB＝90°，
∴四边形AOHD是矩形，
∴AO＝DH，AD＝OH，且AD＝BC＝BD，
∴OH＝BD，
∵DB2＝DH2+BH2，
∴DB2＝（DB﹣2）2+16，
∴DB＝5，
∴AD＝BC＝OH＝5，
∴点D（5，4），
故答案为：（2，0），（5，4）；
（2）∵OH＝BD＝BC＝5，OB＝2，
∴m＝，n＝＝7，
当0＜t≤2时，如图2，
∵S△BCD＝BC×DH，
∴S△BCD＝10
∵A'B'∥CD，
∴△BB'E∽△BCD，
∴＝（）＝，
∴S＝10×＝t2，
当2＜t≤5，如图3，
∵OO'＝t，
∴BO'＝t﹣2，FO'＝（t﹣2），
∵S＝S△BB'E﹣S△BO'F＝t2﹣×（t﹣2）2，
∴S＝﹣t2+t﹣；
当5＜t＜7时，如图4，
∵OO'＝t，
∴O'C＝7﹣t，O'N＝2（7﹣t），
∵S＝×O'C×O'N＝×2（7﹣t）2，
∴S＝t2﹣14t+1．
【点睛】
本题考查二次函数性质，相似三角形的判定及性质定理，根据实际情况要分分段讨论利用相似三角形的性质求解是解题的关键.
23、
【分析】连接PC,则PC=DE=2, 在CB上截取CM=0.25,得出△CPM∽△CBP，即可得出结果.
【详解】解:连接PC,则PC=DE=2,
∴P在以C为圆心，2为半径的圆弧上运动,
在CB上截取CM=0.25,连接MP,
∴,
∴,
∵∠MCP=∠PCB,
∴△CPM∽△CBP,
∴PM=PB,
∴PA+PB=PA+PM,
∴当P、M、A共线时，PA+PB最小，即.
【点睛】
本题考查了最短路径问题，相似三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键.
24、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；
（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；
（3）先求出AC、AB、AO的长，由第（2）问的结论△ABC∽△DOA，根据相似三角形的性质：对应边成比例可得到AD的长．
【详解】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴∠AOD+∠BAC=90°，
又∵∠D=∠BAC，
∴∠AOD+∠D=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是半圆O的切线；
（2）证明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，
又∵∠D=∠BAC，
∴△ABC∽△DOA；
（3）解：∵O为AB中点，OD∥BC，
∴OE是△ABC的中位线，则E为AC中点，
∴AC=2CE，
∵BC=2，CE=，
∴AC=
∴AB=，
∴OA=AB=，
由（2）得：△ABC∽△DOA，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．同时考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．
25、（1）2000；（2）①售价是75元，②售价为85元，利润最大为3125元．
【分析】（1）用每件利润乘以50件即可；
（2）每件售价降价x元，则每件利润为（100-60-x）元，销售量为（50+5x）件，它们的乘积为利润y，
①利用y=2625得到方程（100-60-x）（50+5x）=2625，然后解方程即可；
②由于y=（100-60-x）（50+5x），则可利用二次函数的性质确定最大利润值．
【详解】解：（1）解：（1）该网店销售该商品原来一天可获利润为（100-60）×50=2000（元），
故答案为2000；
（2）①
解得或，
又因尽量多增加销售量，故.
售价是元．
答：每件商品的售价应降价25元；
②，
当时，售价为元，利润最大为3125元．
答：答：当该商品每件售价为85元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为3125元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
26、（1）补全图形见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角.
【分析】（1）根据题中得方法依次作图即可；
（2）直径所对的圆周角是直角，据此填写即可.
【详解】(1)补全图形如图
（2）∵直径所对的圆周角是直角，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
故答案为：90；直径所对的圆周角是直角，
【点睛】
本题主要考查了尺规作图以及圆周角性质，熟练掌握相关方法是解题关键.
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