资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x2+x5＝x7
C．x2•x4＝x6 D．（xy）4＝xy4
3．二次函数 (m是常数)，当时，，则m的取值范围为( )
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
4．如图，在矩形中，于F，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．15 C．24 D．27
6．如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
7．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2 = 0 B．x2 = 4 C．x2﹣2x﹣1 = 0 D．x2 +1 = 0
8．已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠E=40°，则∠F的度数为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
9．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形 D．当时，随的增大而增大
10．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为________________.
12．已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为_____．
13．小明向如图所示的区域内投掷飞镖，阴影部分时的内切圆，已知，，，如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为____________．
14．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是______ ．
15．写出一个具有性质“在每个象限内y随x的增大而减小”的反比例函数的表达式为________.
16．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是____．（用“＜”连接）
17．在中，若，则的度数是______．
18．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为_____m．
三、解答题(共66分)
19．（10分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
20．（6分）如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点A、C．点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16.
（1）求证:△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
（3）设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标.
21．（6分）在一个不透明的布袋中，有三个除颜色外其它均相同的小球，其中两个黑色，一个红色.
(1)请用表格或树状图求出：一次随机取出2个小球，颜色不同的概率.
(2)如果老师在布袋中加入若干个红色小球.然后小明通过做实验的方式猜测加入的小球数，小 明每次換出一个小球记录下慎色并放回，实验数据如下表：
实验次数
100
200
300
400
500
1000
摸出红球
78
147
228
304
373
752
请你帮小明算出老师放入了多少个红色小球.
22．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx过A(4，0) B(1，3)两点，点C 、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H
（1）求抛物线的解析式．
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积．
（3）点P是抛物线BA段上一动点，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠BAO＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点A
（1）求∠AOB的度数
（2）若OA=，求点A的坐标
（3）若S△ABO＝，求反比例函数的解析式
24．（8分）已知关于的一元二次方程 (为实数且)．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D.
（1）若∠BAD= 80°，求∠DAC的度数；
（2）如果AD=4，AB=8，则AC= ．
26．（10分）如图，抛物线过原点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）已知为抛物线上一点，连接，，，求的值；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点，过点作轴于点，使以，，三点为顶点的三角形与相似，若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．
【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，
∴AM＝BM，
∴∠B＝∠BAM，①正确；
②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，
∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；
③∵∠BAC＝90°，AH是高，
∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，
∴∠B＝∠CAH，③正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．
2、C
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
【详解】解：3x﹣2x＝x，故选项A不合题意；
x2与x5不是同类项，故不能合并，故选项B不合题意；
x2•x4＝x6，正确，故选项C符合题意；
，故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3、D
【分析】根据二次函数的性质得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】∵二次函数，
∴图像开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0),(m-1,0),
∵当时， ，
∴m-1>0,
∴m>1.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
4、C
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出，再由面积法求出的长即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
的面积，
；
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的关键．
5、C
【解析】根据三边对应成比例，两三角形相似，得到△ABC∽△DEF，再由相似三角形的性质即可得到结果．
【详解】∵AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∵△ABC的面积是3，
∴S△DEF＝27，
∴S阴影＝S△DEF﹣S△ABC＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6、B
【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜1．
故选B．
7、A
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，逐一判断选项，即可．
【详解】A. x2 = 0，解得：x1=x2=0，故本选项符合题意；
B. x2 = 4，解得：x1=2，x2=-2，故本选项不符合题意；
C. x2﹣2x﹣1 = 0，，有两个不相等的根，故不符合题意；
D. x2 +1 = 0，方程无解，故不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键．
8、C
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C，然后利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，进而可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°-40°=80°，
∴∠F=80°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
9、C
【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．
【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误；
B、∵，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确；
D、∵，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
10、B
【解析】试题分析：，，．故选B．
考点：解一元二次方程-配方法．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】先求出一元二次方程的解，再进行分类讨论求周长即可．
【详解】，
解得：，，
当等腰三角形的三边分别为3，3，6时，3+3=6，不满足三边关系，故该等腰三角形不存在；
当等腰三角形的三边分别为6，6，3时，满足三边关系，该等腰三角形的周长为：6+6+3=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法与等腰三角形的结合，做题时需注意等腰三角形中边的分类讨论及判断是否满足三边关系．
12、 (﹣3，1)
【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，
∴﹣b=1，
根据二次函数的顶点式方程y=a(x+3)2﹣b(a≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b)，
∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．
故答案为：(﹣3，1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义．
13、
【分析】利用几何概率等于阴影部分的面积与三角形的面积之比即可得出答案．
【详解】，，，
∴是直角三角形，
设圆的半径为r，利用三角形的面积有
即
解得
∴阴影部分的面积为
∵三角形的面积为
∴飞镖落在阴影部分的概率为
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查几何概率，掌握几何概率的求法是解题的关键．
14、
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有2种情况，
∴转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是：.
故答案是：.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题属于放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15、y=(答案不唯一)
【解析】根据反比例函数的性质，只需要当k＞0即可，答案不唯一.
故答案为y=(答案不唯一).
16、r3 ＜r2 ＜r1
【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.
【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径
∴r3 ＜r2 ＜r1
故答案为：r3 ＜r2 ＜r1
【点睛】
本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.
17、
【分析】先根据非负数的性质求出，，再由特殊角的三角函数值求出与的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】在中，，
，，
，，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
18、（7+6）
【解析】过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt△AEF中利用DF的长，求得线段AF的长；在Rt△BCE中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的长．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，
∵坝顶部宽为2m，坝高为6m，
∴DC=EF=2m，EC=DF=6m，
∵α=30°，
∴BE= （m），
∵背水坡的坡比为1.2：1，
∴，
解得：AF=5（m），
则AB=AF+EF+BE=5+2+6=（7+6）m，
故答案为（7+6）m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析;(2).
【分析】（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．
【点睛】
本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.
20、（1）证明见解析；（2）点P的坐标为（2，4）；（3）点Q的横坐标为：或.
【分析】（1）利用PB∥OC，即可证明三角形相似；
（2）由一次函数解析式，先求点A、C的坐标，由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值，从而可求出点P的坐标即可；
（3）把P坐标代入求出反比例函数，设Q点坐标为（n，），根据△BQD与△AOC相似分两种情况，利用线段比联立方程组求出n的值，即可确定出Q坐标．
【详解】（1）证明：∵PB⊥ x轴，OC⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP；
（2）解：对于直线y=x+3，
令x=0，得y=3；
令 y=0，得x=-6 ；
∴A(-6，0)，C(0，4)，
∴OA=6，OC=3.
∵△AOC∽△ABP，
∴，
∵S△ABP=16，S△AOC=，
∴，
∴，即，
∴PB=4，AB=8，
∴OB=2，
∴点P的坐标为：（2，4）.
（3）设反比例函数的解析式为：y=，
把P(2，4)代入，得k=xy=2×4=8，
∴y=.
点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为：（n，）(n＞2)，
则BD=，QD=，
①当△BQD∽△ACO时，，
即，
整理得：，
解得：或；
②当△BQD∽△CAO时，，
即，
整理得：，
解得：，（舍去），
综上①②所述，点Q的横坐标为：1+或1+.
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21、（1）P=；（2）加入了5个红球
【分析】（1）利用列表法表示出所有可能，进而得出结论即可；
（2）根据概率列出相应的方程，求解即可.
【详解】（1）列表如图，
黑1
黑2
红
黑1
/
（黑1，黑2）
（黑1，红）
黑2
（黑2，黑1）
/
（黑2，红）
红
（红，黑1）
（红，黑2）
/
一共有6种等可能事件，其中颜色不同的等可能事件有4种，∴颜色不同的概率为P=
（2）由图表可得摸到红球概率为
设加入了x个红球
=
解得x=5
经检验x=5是原方程的解
答：加入了5个红球。
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22、（1）y=-x2+4x；（2）点C的坐标为（3，3），3；（3）点P的坐标为（2，4）或（3，3）
【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求出解析式；
（2）求出抛物线的对称轴，根据对称性得到点C的坐标，再利用面积公式即可得到三角形的面积；
（3）先求出直线AB的解析式，过P点作PE∥y轴交AB于点E，设其坐标为P（a，-a2+4a），得到点E的坐标为(a，-a+4)，求出线段PE，即可根据面积相加关系求出a，即可得到点P的坐标.
【详解】（1）把点A（4，0），B(1，3)代入抛物线y=ax2+bx中，得
，得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x；
(2)∵，
∴对称轴是直线x=2，
∵B(1，3)，点C 、B关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（3，3），BC＝2，
点A的坐标是（4，0），BH⊥x轴，
∴S△ABC= =；
（3）设直线AB的解析式为y=mx+n，将B，A两点的坐标代入
得，解得，
∴y=-x+4，
过P点作PE∥y轴交AB于点E，P点在抛物线y=-x2+4x的AB段，
设其坐标为（a，-a2+4a），其中1<a<4，则点E的坐标为(a，-a+4)，
∴PE=(-a2+4a)-( -a+4)=-a2+5a-4，
∴S△ABP= S△PEB+ S△PEA=×PE×3=(-a2+5a-4)=，
得a1=2，a2=3，
P1(2，4)，P2(3，3)即点C，
综上所述，当△ABP的面积为3时，点P的坐标为（2，4）或（3，3）.
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，对称点的性质，图象与坐标轴的交点，动点问题，是一道比较基础的综合题.
23、（1）30°；（2）A(﹣6，)；（3）
【分析】（1）由题意直接根据等腰三角形的性质进行分析即可；
（2）由题意过点A作AC⊥x轴于点C，由∠AOB=30°，解直角三角形可得出AC=2，再由锐角三角函数或勾股定理得出OC=6，即可求得A点的坐标；
（3）根据题意设OB=AB=m，根据BA=BO可得出∠ABC=60°，由此可得出AC=m，由S△ABO=，列出关于m的方程，解方程求得m的值，进而AC和OC，结合反比例函数系数k的几何意义求得解析式．
【详解】解（1）∵AB＝BO，∠BAO＝30°，
∴∠AOB=∠BAO＝30°.
（2）过点A作AC⊥x轴，
∵
∴，
∴A(﹣6，).
（3）设OB=AB=，
得出∠ABC=60°，
在直角三角形ACB中得出AC=，
∵S△ABO＝，
∴，
∴，
∴AC==，
∴A(﹣3，).
把A点坐标代入得反比例函数的解析式为.
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义、特殊角的三角函数值，解题的关键是根据特殊角的三角函数值找出线段的长度．
24、 (1)证明见解析；(2)或．
【解析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可．
【详解】(1)依题意，得
，
，
．
∵，
∴方程总有两个实数根．
(2)∵，
∴，．
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
25、（1）∠DAC=40°，（2）
【分析】（1）连结OC，根据已知条件证明AD//OC，结合OA=OC，得到∠DAC=∠OAC=∠DAB，即可得到结果；
（2）根据已知条件证明平行四边形ADCO是正方形，即可求解；
【详解】解：（1）连结OC，
则OCDC，又ADDC，∴AD//OC，∴∠DAC=∠OCA；
又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC=∠DAB，
∴∠DAC=40°．
（2）∵，AB为直径，
∴，
∵，
∴，
∵AD∥OC，
∴四边形ADCO是平行四边形，
又，，
∴平行四边形ADCO是正方形，
∴．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
26、（1）抛物线的解析式为；顶点的坐标为；（2）3；（3）点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；
（2）先将点C的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C的坐标得出，，从而有，最后利用求解即可；
（3）设为．由于，所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，分两种情况：或，分别建立方程计算即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过原点，且与轴交于点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点的坐标为．
（2）∵在抛物线上，
∴．
作轴于，作轴于，
则，，
∴，．
∴．
∵，．
∴．
（3）假设存在．
设点的横坐标为，则为．
由于，
所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，
有或
∴ 或．
解得或．
∴存在点，使以，，三点为顶点的三角形与相似．
∴点的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．
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