高二等差、等比数列基础练习题及答案.doc

等差、等比数列基础练习题及答案
一、选择题
1.数列{an}满足a1=a2=1，，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2013的值为（　　）
A. 2013 B. 671 C. -671 D.
2.已知数列{an}满足递推关系：an+1=，a1=，则a2017=（　　）
A. B. C. D.
3.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033
4.已知正项数列{an}满足，若a1=1，则a10=（　　）
A. 27 B. 28 C. 26 D. 29
5.若数列{an}满足：a1=2，an+1=，则a7等于（　　）
A. 2 B. C. -1 D. 2018
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6=a3+6，则S7=（　　）
A. 49 B. 42 C. 35 D. 28
7.等差数列{an}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 40
8.已知数列{an}的前n项和，若它的第k项满足2＜ak＜5，则k=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9.在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a10，则k=（　　）
A. 45 B. 46 C. 47 D. 48
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（　　）
A. 66 B. 55 C. 44 D. 33
二、填空题
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则该数列的通项公式an=______．
2.正项数列{an}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么an=______．

3.若数列{an}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，则a3=______；数列{an}前10项的和S10=______．

4.数列{an}中，已知a1=1，若，则an=______，若，则an=______．

5.已知数列{an}满足a1=-1，an+1=an+，n∈N*，则通项公式an= ______ ．
6.数列{an}满足a1=5，-=5（n∈N+），则an= ______ ．

7.等差数列{an}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{an}前9项的和S9等于______．
三、解答题
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且=1（n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设（n∈N+），求的值．

2.数列{an}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：
（Ⅰ）求此等差数列的公差d；
（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为Sn，求Sn的最大值；
（Ⅲ）当Sn是正数时，求n的最大值．

3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 求数列{Sn}的前n项和Tn．

4.已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，；当an为奇数时，．
（1）若a1=64，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；
（3）设（m≥3且m∈N），数列{an}的前n项和为Sn，求证：.

等差、等比数列基础练习题答案
【答案】(选择题解析在后面)
1. D 2. C 3. A 4. B 5. A 6. B 7. B
8. C 9. B 10. D
12. 2n   13.    14. -6；-110   15. 2n-1；2n-1  
16. -   17.    18. 81  
19. 解：（1）当n=1，a1=，
当n＞1，Sn+an=1，Sn-1+an-1=1，
∴an-an-1=0，
即an=an-1，
数列{an}为等比数列，公比为，首项为，
∴an=．
（2）Sn=1-an=1-（）n，
∴bn=n，
∴==-，
∴=1-+-+…+-=1-=．  
20. 解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；
（Ⅱ）=，
因为n∈N*，所以当n=6时Sn有最大值为78；
（Ⅲ）由，解得0＜n＜．
因为n∈N*，所以n的最大值为12．  
21. 解：（Ⅰ）列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2①．
则：Sn+1=2an+1-2②，
②-①得：an+1=2an，
即：（常数），
当n=1时，a1=S1=2a1-2，
解得：a1=2，
所以数列的通项公式为：，
（Ⅱ）由于：，
则：，
=，
=2n+1-2．
-2-2-…-2，
=2n+2-4-2n．  
22. 解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，
即{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．　　  …（2分）
故数列{an}的通项公式为．　       …（4分）
（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；
若a1=4k+1（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）
若a1=4k+2（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；
若a1=4k+3（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；
∴a1的值为-3，-1，0，2．                                　…（10分）
（3）由（m≥3），可得，，，
若，则ak是奇数，从而，
可得当3≤n≤m+1时，成立．                …（13分）
又，am+2=0，…
故当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．            …（15分）
故对于给定的m，Sn的最大值为a1+a2+…+am=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+…+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+…+21）-m-3=2m+1-m-5，
故．                                    …（18分）  

【解析】
1. 解：∵数列{an}满足a1=a2=1，，
∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2
a3n-2+a3n-1+a3n
=cos =cos（2nπ-）=cos（-）=cos =-cos =-，
∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，
∴S2013=-×671=-．
故选D．
由数列{an}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．
本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
2. 解：∵an+1=，a1=，∴-=1．
∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．
∴=2+2016=2018．
则a2017=．
故选：C．
an+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3. 解：∵Sn=2n-1（n∈N+），
∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2
故选：A
由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．
本题考查了数列的递推公式，属于基础题．
4. 解：∵，∴an+12-2anan+1+an2=9，
∴（an+1-an）2=9，
∴an+1-an=3，或an+1-an=-3，
∵{an}是正项数列，a1=1，
∴an+1-an=3，即{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
∴a10=1+9×3=28．
故选B．
由递推式化简即可得出{an}是公差为3的等差数列，从而得出a10．
本题考查了等差数列的判断，属于中档题．
5. 解：数列{an}满足：a1=2，an+1=，则a2==，
a3==-1 a4==2
a5==， a6==-1． a7==2．
故选：A．
利用数列的递推关系式，逐步求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．
6. 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，2a6=a3+6，
∴2（a1+5d）=a1+7d+6，
∴a1+3d=6，∴a4=6，
∴=42．
故选：B．
由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．
本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．
7. 解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根
∴a1+a2013=10
由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007
∴a2+a1007+a2012=15
故选：B
由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．
本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．
8. 解：已知数列{an}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，
∴an=Sn-Sn-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，
n=1满足an，
∴an=2n-4，
∵它的第k项满足2＜ak＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，
∴k=4，
故选C；
先利用公式an=求出an=，再由第k项满足4＜ak＜7，建立不等式，求出k的值．
本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用，属于基础题．
9. 解：∵ak=a1+a2+a3+…+a10，
∴a1+（k-1）d=10a1+45d
∵a1=0，公差d≠0，
∴（k-1）d=45d
∴k=46
故选B
由已知ak=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
10. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．
则S11==11×3=33．
故选：D．
利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12. 解：由Sn=n2+n，得
a1=S1=2，
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．
当n=1时上式成立，
∴an=2n．
故答案为：2n．
由数列的前n项和求得首项，再由an=Sn-Sn-1（n≥2）求得an，验证首项后得答案．
本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．
13. 解：由=（n∈N*），可得a2n+1=an•an+2，
∴数列{an}为等比数列，
∵a1=1，a2=，
∴q=，
∴an=，
故答案为：
由=（n∈N*），可得a2n+1=an•an+2，即可得到数列{an}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式
本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．
14. 解：∵对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，
∴取m=1，则an+1-an=a1=-2，
∴数列{an}是等差数列，首项为-2，公差为-2，
∴an=-2-2（n-1）=-2n．
∴a3=-6，
∴数列{an}前10项的和S10==-110．
故答案分别为：-6；-110．
对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1-an=a1=-2，可得数列{an}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 解：在数列{an}中，由，
可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，
∴an=1+2（n-1）=2n-1；
由，
可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，
∴．
故答案为：2n-1；2n-1．
由已知递推式an-an-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．
本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．
16. 解：由题意，an+1-an=-，
利用叠加法可得an-a1=1-=，
∵a1=-1，
∴an=-，
故答案为-．
由题意，an+1-an=-，利用叠加法可得结论．
本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．
17. 解：数列{an}满足a1=5，-=5（n∈N+），
可知数列{}是等差数列，首项为，公差为：5．
可得=+5（n-1），
解得an═．
故答案为：．
判断数列{}是等差数列，然后求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．
18. 解：等差数列{an}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，
∴3a4=33，3a6=21；
∴a4=11，a6=7；
数列{an}前9项的和：
．
故答案为：81．
根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可．
本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目．
19. （1）根据数列的递推公式可得数列{an}为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，
（2）根据对数的运算性质可得bn=n，再根据裂项求和即可求出答案
本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；
（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；
（3）由Sn＞0，且n∈N*列不等式求解n的值．
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．
21. （Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．
22. （1）由，可得{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{an}的通项公式即可；
（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；
（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则ak是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．故对于给定的m，Sn的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．
本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．
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