2019届江西省名校(临川一中、南昌二中)高三5月联合考试数学(理)试题(解析版).doc

2019届江西省名校（临川一中、南昌二中）高三5月联合考试数学（理）试题

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先化简集合A,B，再求得解.
【详解】
,
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．复数，若复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，据此结合复数的乘法运算法则计算的值即可.
【详解】
由题意可知，所以，故选A．
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.
3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%
D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多
【答案】D
【解析】本道题分别将各个群体的比例代入，即可。
【详解】
A选项，可知90后占了56%，故正确；B选项，技术所占比例为39.65%,故正确；
C选项，可知90后明显比80多前，故正确；D选项，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故错误。故选D。
【点睛】
本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较容易。
4．已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）
A．32 B．31 C．30 D．29
【答案】B
【解析】根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.
【详解】
因为，
所以.
因为，
所以.
所以，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．
【详解】
解：模拟执行程序框图，可得
.
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体， ；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体， ；
…
观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：
满足条件，执行循环体，
当 ,不满足条件，退出循环，输出x的值为2．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．
6．在△ABC中，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得以P为的重心，再求出,求出的值得解.
【详解】
因为
所以P为的重心，
所以,
所以,
所以
因为，
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查三角形的重心的性质，考查三角形的减法法则和数乘向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）

A． B． C．27 D．18
【答案】B
【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.
【详解】
由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，
所以几何体体积.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )
A．198 B．268 C．306 D．378
【答案】A
【解析】根据题意，分两种情况讨论，①3人中有2名中国记者和1名国外记者，求出不同的提问方式的种数；②3人中有1名中国记者和2名国外记者，求出不同的提问方式的种数，由分类计数原理相加即得答案．
【详解】
分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有种不同提问方式；
若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，
所以共有种提问方式.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的（ ）
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】试题分析：当x∈时，sinx＋cosx≤
所以0≤sinx＜－cosx≤
于是sin（sinx）＜sin（－cosx）＝cos（cosx），充分性成立.
取x＝－，有sin（sinx）＝sin（－）＝－sin＜0
cos（cosx）＝cos（－）＝cos＞0
所以sin（sinx）＜＜cos（cosx）也成立，必要性不成立
故选C
【考点】三角函数的性质，充要条件
10．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设求出，再利用正弦定理求解.
【详解】
设
所以，
所以，
所以，
得
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理边角互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【解析】试题分析：由题可知，，
因此
，故选B．
【考点】圆锥曲线综合题．
12．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题首先可以将“不等式对任意恒成立”转化为“对恒成立”，然后求出方程，的最小值即可得出结果。
【详解】
题意即为对恒成立，
即对恒成立，从而求，的最小值，而
故
即
当时，等号成立，方程在内有根，
故，所以，故选D。
【点睛】
本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题。

二、填空题
13．若,的展开式中常数项为________．
【答案】112
【解析】先求出n的值，再利用二项式展开式的通项求常数项得解.
【详解】
，

的展开式的通项为，
令.
所以展开式的常数项为.
故答案为：112
【点睛】
本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．已知实数满足则的最大值为________．
【答案】4
【解析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.
【详解】
由题得不等式组对应的可行域如图所示，

由题得z=x+y,
所以y=-x+z,直线的纵截距为z.
当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距最大，z最大.
联立得A(2,2),
所以.
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15．设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为________．
【答案】
【解析】先化简函数f(x),再求出，由题得，给k赋值即得解.
【详解】
，
将的图像向右平移个单位长度得到，
因为函数g(x)是偶函数，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．设函数，若方程有12个不同的根，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
得x=﹣3，x=1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，
由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，
则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，
根据函数的图象可知，
设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，
则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，
设h（m）=m2+tm+1，
则
所以取值的范围．
故答案为：。
点睛：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数判断函数的极值和单调性，以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．一般这种成为复合函数方程的根，分别设内层外层函数，内外层单独研究。

三、解答题
17．已知数列有，是它的前项和，且．
（1）求证：数列为等差数列.
（2）求的前项和.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）先化简已知得，，再求出，再证明数列为等差数列；（2）对n分奇数和偶数两种情况讨论得解.
【详解】
（1）当时，
所以，，
两式对应相减得，
所以
又n=2时，
所以，
所以，
所以数列为等差数列.
（2）当为偶数时，

当为奇数时，

综上：
【点睛】
本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG.HG为所求直线.证明平面AHG||平面CDE，
原题即得证；（2）以CD中点O为坐标原点，OD所在直线为x轴，OB所在直线为Y轴，OE所在直线为Z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG.HG为所求直线.
所以,
因为平面平面，,
所以，
取CD中点O,连接EO,
因为平面平面，
所以，
所以AH||EO,又平面CDE,平面CDE,
所以.
因为,
所以,
因为,
则，
所以直线HG上任意一点与的连线均与平面平行.
(2)以CD中点O为坐标原点，OD所在直线为x轴，OB所在直线为Y轴，OE所在直线为Z轴,建立空间直角坐标系.,
设
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】
本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm的概率；
（2）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；
降雨量
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
亩产量
500
700
600
400

【答案】（1） ；（2）乙品种杨梅的总利润较大.
【解析】（1）由频率分布直方图中矩形面积和为1，计算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的一半，求和即可求出对应的概率值，再利用独立重复试验概率公式可得结果；（2）根据直方图求随机变量的概率，可得随机变量的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为28万元比较得出结论和建议.
【详解】
（1）频率分布直方图中第四组的频率为
该地区在梅雨季节的降雨量超过的概率为
所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为
（或.）
（2）据题意，总利润为元，其中.
所以随机变量（万元）的分布列如下表：

27
35
31.2
22.4

0.2
0.4
0.3
0.1

故总利润（万元）的期望
（万元）
因为，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
20．已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是
（1）求曲线的方程；
（2）过点引直线交曲线于两点，设，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】设，根据条件列方程化简即可；（2）先探究特殊性，当点Q为椭圆的上顶
点（0，）时，直线RN过定点P(4,0).再讨论一般情形，设直线l:点R,N,P三点共线，因此直线RN经过定点P(4,0).
【详解】
（1）设，，，
则，，
由于，
即，设，，
则，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
故，，，
所以，动点的轨迹的方程为：．
如图所示，

先探究特殊性，当点Q为椭圆的上顶点（0，）时，直线l:,
联立直线和椭圆方程得,
直线RN:令y=0,得x=4,
所以直线RN过定点P(4,0).
下面证明一般情形：
设直线l:
联立，
判别式
所以

即，
设，于是，
，
又，
解得，
所以，
所以点R,N,P三点共线，因此直线RN经过定点P(4,0).
综上，直线RN经过定点P(4,0).
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法和椭圆的定义，考查椭圆中的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．已知函数
（1）若，求证：
（2）若，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）（﹣∞，0]
【解析】（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.
【详解】
（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．
由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，
∴f（x）的极大值为，
∴当x＜0时，f（x）≤
（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，
令g（x）＝，x＞0，则g′（x），
令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，
∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，
∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，
令，
令
所以=1，,
∴g（x0）
∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．
【点睛】
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．
【答案】（1）C1:x－y－a＋1＝0，C2:y2＝4x；（2）或
【解析】(1)直接消参得到曲线C1的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C2的直角坐标方程；（2）把曲线C1的标准参数方程代入曲线C2的直角坐标方程利用直线参数方程t的几何意义解答.
【详解】
C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，
C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，
两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．
所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．
(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，
得＋1－4a＝0，由Δ＝，得a>0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，
当t1＝2t2时，解得a＝；
当t1＝－2t2时，解得a＝，
综上，或．
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数
（1）若，求不等式的解集.
（2）对任意的，有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值的几何意义分析解答得解.
【详解】
（1），
所以
解之得不等式的解集为.
(2)
当时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合，
所以，所以，
当时，不等式恒成立，
当时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，
由题得，所以m没有解.
综上，.
【点睛】
本题主要考查利用分类讨论法解绝对值不等式，考查利用绝对值的几何意义分析不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

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