2018年普陀区高三二模数学Word版(附解析).doc

上海市普陀区2018届高三二模数学试卷
2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 抛物线的准线方程为
2. 若函数是奇函数，则实数
3. 若函数的反函数为，则函数的零点为
4. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这
五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为
（结果用数值表示）
5. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，
则角的大小为
6. 若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为
7. 某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔
（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，
且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为
（结果用最简分数表示）
8. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），椭圆的
参数方程为（为参数），则直线与椭圆的公共点坐标为
9. 设函数（且），若是等比数列（）的公比，且，则的值为
10. 设变量、满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数的
取值范围是

11. 设R，，
若，则实数的取值范围是
12. 点、分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，若动点
满足：，则的最大值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
14. 如图所示的几何体，其表面积为，下部圆柱的底面
直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的
主视图的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
15. 设是无穷等差数列前项和（），则“
存在”是“该数列公差”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要
16. 已知，，若，则对此不等式描述正确的是（ ）
A. 若，则至少存在一个以、、为边长的等边三角形
B. 若，则对任意满足不等式的、、，都存在以、、为边长的三角形
C. 若，则对任意满足不等式的、、，都存在以、、为边长的三角形
D. 若，则对满足不等式的、、，不存在以、、为边长的直角三角形

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示的正四棱柱的底面边长为1，侧棱，点在棱
上，且（）.
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当异面直线与所成角的大小为
时，求的值.

18. 已知函数，R.
（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；
（2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标.

19. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通号线线路示意图
如图所示，已知、是东西方向主干道边两个景点，、是南北方向主干道边两个
景点，四个景点距离城市中心均为，线路段上的任意一点到景点的距离
比到景点的距离都多10，线路段上的任意一点到的距离都相等，线路
段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多10，以为原点建立平面直
角坐标系.
（1）求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路段上需建一站点到景点
的距离最近，问如何设置站点的位置？

20. 定义在R上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；
（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.

21. 若数列同时满足条件：① 存在互异的使得（为常数）；
② 当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.
（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：
①； ②； ③；
（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列
的前项和；
（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值，若不存在，请说明理由.

上海市普陀区2018届高三二模数学试卷
2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 抛物线的准线方程为
【解析】
2. 若函数是奇函数，则实数
【解析】
3. 若函数的反函数为，则函数的零点为
【解析】，的零点为
4. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这
五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为
（结果用数值表示）
【解析】
5. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，
则角的大小为
【解析】，
6. 若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为
【解析】，最小值为5
7. 某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔
（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，
且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为
（结果用最简分数表示）
【解析】
8. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），椭圆的
参数方程为（为参数），则直线与椭圆的公共点坐标为
【解析】，椭圆，公共点坐标为
9. 设函数（且），若是等比数列（）的公比，且，则的值为
【解析】

10. 设变量、满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数的
取值范围是
【解析】数形结合，
11. 设R，，
若，则实数的取值范围是
【解析】，，∴取值范围为
12. 点、分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，若动点
满足：，则的最大值为
【解析】

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【解析】D
14. 如图所示的几何体，其表面积为，下部圆柱的底面
直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的
主视图的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【解析】，选B
15. 设是无穷等差数列前项和（），则“
存在”是“该数列公差”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要
【解析】A
16. 已知，，若，则对此不等式描述正确的是（ ）
A. 若，则至少存在一个以、、为边长的等边三角形
B. 若，则对任意满足不等式的、、，都存在以、、为边长的三角形
C. 若，则对任意满足不等式的、、，都存在以、、为边长的三角形
D. 若，则对满足不等式的、、，不存在以、、为边长的直角三角形
【解析】B

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示的正四棱柱的底面边长为1，侧棱，点在棱
上，且（）.
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当异面直线与所成角的大小为
时，求的值.
【解析】（1）；（2）建系，

18. 已知函数，R.
（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；
（2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标.
【解析】（1），结合图像，；（2）

19. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通号线线路示意图
如图所示，已知、是东西方向主干道边两个景点，、是南北方向主干道边两个
景点，四个景点距离城市中心均为，线路段上的任意一点到景点的距离
比到景点的距离都多10，线路段上的任意一点到的距离都相等，线路
段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多10，以为原点建立平面直
角坐标系.
（1）求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路段上需建一站点到景点
的距离最近，问如何设置站点的位置？
【解析】（1）线路AB：；
线路BC：；线路CD：
（2），
时，距离最近，代入双曲线，，∴

20. 定义在R上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；
（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.
【解析】（1），∴，，解得，
（2），分析函数图像可知最小，最大，值域
（3）略

21. 若数列同时满足条件：① 存在互异的使得（为常数）；
② 当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.
（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：
①； ②； ③；
（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列
的前项和；
（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所
有的的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）① 是，② 不是，③ 是；
（2），当，；当，
（3）根据题意，，，∴或