2018-2019学年松江区闵行区高三二模考试数学试卷.doc

2018-2019学年松江区闵行区高三二模考试数学试卷模
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则
【答案】(1,2)
【解析】
2. 抛物线的准线方程为
【答案】
【解析】，准线方程
3. 已知函数的反函数为，则
【答案】
【解析】的图像过点（4，2），其反函数过点（2，4）可得4
4. 已知等比数列的首项为1，公比为，表示的前项和，则
【答案】
【解析】由无穷等比数列定义可知
5. 若、的方程组有无穷多组解，则的值为
【答案】
【解析】方程组有无穷多解，则，=
6. 在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则

【答案】
【解析】由题知，整理可得，
7. 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数为
【答案】
【解析】
∵2n-=0
∴
∴

8. 设不等式组表示的可行域为，若指数函数的图像与有公共点，
则的取值范围是
【答案】
9. 若函数的图像关于直线对称，则正数的最小
值为
【答案】
【解析】

∵函数关于直线对称
∴

∴

10. 在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为
【答案】
【解析】
11. 若函数有零点，则其所有零点的集合为 （用列举法表示）
【答案】
【解析】∵

∴
解得
所以所有零点的集合为

12. 如图，是圆上的任意一点，、是
圆直径的两个端点，点在直径上，，
点在线段上，若，则点的
轨迹方程为
【答案】
【解析】由题可知
∵
=
设
∴

∴，
，
∴点P的轨迹方程为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知、、是三条不同直线，、是两个不同平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则∥
B. 若，，∥，则∥
C. 若，，，，，则
D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则∥
【答案】D
【解析】不共线的三点确定一个平面
14. 过点与双曲线仅有一个公共点的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】D
【解析】两条切线，两条与渐近线平行的线
15. 十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（ ）
① 对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解；
② 当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；
③ 当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；
④ 若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数；
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】D
【解析】①时，，②与题干原命题矛盾，错误。

16. 如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线
等分成八个区域（不含边界），已知数列，表示数列
的前项和，对任意的正整数，均有，
当时，点（ ）
A. 只能在区域②
B. 只能在区域②和④
C. 在区域①②③④均会出现
D. 当为奇数时，点在区域②或④，当为偶数时，点在区域①或③
【答案】B
【解析】已知横坐标大于0，，令，相减得，解得，
或者
下证②和④。，显然成立
同理证④

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求四棱锥的侧面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵BC⊥CD,BC⊥PD
∴BC⊥平面PDC
∴∠BPC即为所求角的大小
tan∠BPC=
∴直线BP与平面PCD所成的角大小为
（2）由题可得：

=
=
=

18. 已知复数满足，的虚部为2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
【答案】（1）;（2）-2
【解析】(1)设z=a+bi，则
∴
∴z=1+i或z=-1-i
（2）由题可得：
∴
=
=
=
=2-4
=-2

19. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100
名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，
其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，
技术人员的年人均投入调整为万元.
（1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，
求调整后的技术人员的人数；
（2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研
发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说
明理由.
【答案】（1）50人；（2）存在，
【答案】（1）由题可得：

解得x=50
（2） 由题可得：

解得：
∴对于恒成立，
∴
当x=60时，；
当x=50时，；
∴
20. 把半椭圆（）与圆弧（）合成的曲线
称作“曲圆”，其中为的右焦点，如图所示，、、、分别是“曲圆”
与轴、轴的交点，已知，过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于、
两点（在轴的上方）.
（1）求半椭圆和圆弧的方程；
（2）当点、分别在第一、第三象限时，求△的周长的取值范围；
（3）若射线绕点顺时针旋转交“曲圆”于点，请用表示、两点的坐标，
并求△的面积的最小值.

【解析】（1）易得，：，
x
y
O
A1
F
A2
B1
B2
Q
P
：.
（2）由题意可知，此时为腰长为2的等腰三角形，，故的周长.

所以周长的取值范围为.
（3）不妨设，
由题意知,

即
（其中， ，以下步骤未求出也给2分）
①当时，将的坐标代入得：
，
整理得，
解得或（舍去），
从而可得.

令，则
当即时，.
②当时，

综上可得:的面积的最小值为.

21. 无穷数列、、满足：，，，，记（表示3个实数、、中的
最大数）.
（1）若，，，求数列的前项和；
（2）若，，，当时，求满足条件的的取值范围；
（3）证明：对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，.
【解析】（1）可求；
；；
所以；
所以．
（2）

.
所以满足条件的的取值范围为.
解法2：
如果，则，
所以时，
所以或
所以满足条件的的取值范围为.
（3）证明：（I）先证明“若中至少有一个为0，则另两个数相等”
不妨设，假设，因为，所以，
所以与矛盾，所以
所以有.
所以此时必存在正整数，使得
(II)再证明：“若 都不为0，则：”
不妨设，则
，
所以
所以此时一定严格递减下去，直至存在正整数，使得，此时中有一个为0，由（I）可知此时命题也成立.
所以对于任意正整数必存在正整数，
使得：．
证法2：因为 ①
当且仅当等号成立，
②
当且仅当等号成立，
③
当且仅当等号成立，
所以.
（I）若三个数至少有两个相等,不妨设
则
所以必存在正整数，
使得.
(II) 若三个数互不相等,则
所以此时一定严格递减下去，直至存在正整数，使得，此时中有两个相等，由（I）可知此时命题也成立．
所以对于任意正整数
必存在正整数，使得：．

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