反比例函数、图象及其主要性质.doc

(完整word)反比例函数、图象及其主要性质反比例函数一。 教学内容：反比例函数 教学目标： 1. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题. 2。 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。二. 重点、难点: 重点:能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 难点：反比例函数的应用。三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程,并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地,如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k不等于0）的形式，那么称y是x的反比例函数从y=中可知，x作为分母,所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时,要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线，不能用折线4、反比例函数的性质反比例函数k的取值范围图象性质的取值范围是，的取值范围是函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小的取值范围是，的取值范围是函数图象的两个分支分别在第二、四象限,在每一个象限内随的增大而增大注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；3)在利用图象性质比较函数值的大小时,前提应是“在同一象限”内。5、反比例函数系数的几何意义如图，过双曲线上任意一点P作轴,轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为，即过双曲线上任一点作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为注意:若已知矩形的面积为，应根据双曲线的位置确定k值的符号。在一个反比例函数图象上任取两点P，Q,分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1S2。四、重点难点重点：1、经历抽象反比例函数概念的过程2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像,归纳总结反比例函数图像难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质五、典例解析考点一、反比例函数的定义例1、用电器的输出功率P与通过的电流I，用电器的电阻R之间的关系是,下面说法正确的是（ )A. P为定值,I与R成反比例B。 P为定值，与R成反比例C。 P为定值，I与R成正比例D。 P为定值,与R成正比例分析：掌握常见的数学公式,物理公式对学习是非常有用的,在以后的学习中我们会经常遇到跨学科的题目，可化为，当P为定值时，成反比例。本题的答案是：B例2、为何值时， 是反比例函数？分析:根据反比例函数表达式的一般形式也可以写成，后一种写法中的x的次数为1，可知函数为反比例函数,必须具备两个条件：且二者缺一不可解：常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式写成形式；2）忽略了这个条件。考点二：反比例函数的图象例3、若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ）A. B. C. D。 分析：主要考查反比例函数的图象和性质。解答时，应先画出的图象，如图，然后把三点在图中表示出来，依据数轴的特性。答案为A例4、观察下面函数和的图像，请大家对比着探索它们的异同点相同点：a、图像都是由两条曲线组成b、它们都不与坐标轴相交c、它们都不过原点不同点：它们所在的象限不同，的两条曲线在第一和第三象限，的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形?由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限,要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以,当k大于0时,图像的两条曲线在第一、三象限内，当k小于0时,两条曲线分别位于第二、四象限.考点三：反比例函数的性质例5、已知反比例函数，分别根据以下条件求出的取值范围。（1）函数图象位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内,随的增大而增大.分析：反比例函数图象的位置是由的符号决定的，当时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小；当时,反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大.另外，由的符号可以推出反比例函数图象的位置和函数的变化情况，函数的增减性也可以推出的符号。本题的反比例函数的系数是，可先根据反比例函数的性质列出不等式，再解不等式求出的取值范围.解：（1）双曲线在第一、三象限内， （2）在每一个象限内随的增大而增大 例6、如图，反比例函数图像上任取两点P、Q,过点P分别作x轴,y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为，过点Q分别作x轴,y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为。(1)与有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合吗？分析:任取P、Q两点有两种情况。一是在同一条曲线上取两点,二是在不同的曲线上取两点.根据所选的点的坐标与坐标轴所围成的面积=长宽，可得，另外，反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，所以问题（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合解：（1)P、Q两点在同一条曲线上:设P()，过P点分别作x轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为，则 因为()在反比例函数的图像上，所以即所以同理可知所以=P、Q分别在不同的曲线上：解法同1同理可知=因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P、Q分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积、都有=(2)若将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。考点五：反比例函数的实际应用例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.(1）如果小明以每分钟120字的速度录入,他需要多长时间才能完成录入任务？（2)录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t（min)有怎样的函数关系（3)小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字?分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度录入时间解：（1）24000120=200（分钟）所以他需要用200分钟才能完成录入工作。（2）函数关系式是：（3）3h=180min由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字.例8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A)与电阻R（）之间的函数关系如图所示。(1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?3456789104分析：从上图来看，I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k，要写出函数的表达式，实际上就确定了k（U)，只需要一个条件即可,而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，实际上填表是已知自变量求函数的值。解:（1）设函数表达式为,在图象上，蓄电池的电压是36伏。（2）3456789101297。 264。 543. 6电流不超过10A,即I最大为10A，代入关系式中得R=3.6,为最小电阻，所用电器的可变电阻应控制在这个范围内.例9、反比例函数的图象上有一点P(m,n）其坐标是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点的距离为，求该反比例函数的解析式. 分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于k的方程。 解： m,n是关于t的方程的两根 m+n=3，mn=k，又 PO= 92k=13。 k=2当 k=2时,=9+80, k=2符合条件，反比例函数的解析式为： 考点六:反比例函数与一次函数的应用例10、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.（1)根据图象，写出B点的坐标;（2）求出两函数的解析式；(3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值.分析：（1）根据数轴上的坐标可以写出B点的坐标（2）根据图象上的点代入函数的一般形式中可以求出函数关系式(3）观察函数的图象，可以得出结论解：（1）由图象可得B(4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式得反比例函数的关系式为由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0,1）和（2，0）把这两点代入一次函数关系式+b得：解得:一次函数的关系式为：（3）由图象可知，当时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。例11、如图,平行于直线的直线不经过第四象限，且与函数的图象交于点A，过点A作AB轴于点B,AC轴于点C，四边形ABOC的周长是8,求直线的解析式。分析:要求直线的解析式,只要设直线的解析式且求A点坐标代入即可，要求A点坐标，可根据四边形ABOC的周长为8得到A点的纵坐标+横坐标=4，再结合C，即可求出A点的坐标值。解：点A在函数的图象上，设A点的横坐标为,由点A的纵坐标为，即A点的坐标为AB轴于点B,AC轴于点C，BOC=90四边形ABOC是矩形，四边形ABOC的周长是8，即解得当A点坐标为（1，3）或(3，1）（由题意可知）A点坐标为（1，3）设直线的解析式为把A点代入得3=1+bb=2直线的解析式为【方法总结】本讲主要运用归纳式教学，采用“探究实验归纳”的课堂教学方法，适时启发诱导,让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯。课后检测一、选择题1。 下列不是反比例函数图象的特点的是 ( )A。 图象是由两部分构成 B. 图象与坐标轴无交点C。 图象要么总向右上方，要么总向右下方D. 图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内2. 若点（3，6）在反比例函数（k0）的图象上，那么下列各点在此图象上的是( ）A。 （，6）B. （2,9) C。 (2，）D。 （3,）3。 当时,下列图象中表示函数的图象的是 ( ）4. 如果x与y满足，则y是x的 （ ）A。 正比例函数 B。 反比例函数 C. 一次函数D。 二次函数5. 已知反比例函数的图象过（2，2)和（1，n），则n等于 （ ）A. 3 B. 4 C. 6D。 126. 已知某县的粮食产量为a（a为常数)吨，设该县平均每人粮食产量为y吨,人口数为x，则y与x之间的函数关系的图象可能是下图中的 （ )A。 B。 C. D。 7. 若ab0，则函数与在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（ )A. B. C。 D. 8、下列函数中，是反比例函数的是（ ）A. B。 C。 D. 9、函数y1=kx和的图象如图所示，自变量x的取值范围相同的是（ ）10、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ )。11、反比例函数 （k0）的图象的两个分支分别位于( ）象限.A。 一、二 B。 一、三 C。 二、四 D。 一、四12、当三角形的面积一定时,三角形的底和底边上的高成（ ）关系.A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D。 二次函数13、函数与的图象可能是( )A B C D14、如图，是三个反比例函数在x轴上的图像，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（ ）A. k1k2k3 B. k1k3k2 C. k2k3k1 D。 k3k2k115、已知双曲线上有一点P（m，n),且m、n是关于t的一元二次方程t23t+k=0的两根，P点到原点的距离为,则双曲线的表达式为（ ）A. B. C. D. 16、如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点,ABx轴于B，CDx轴于D,则四边形ABCD的面积为（ )A。 1 B。 C. 2 D。 17、如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么AOB的面积为A. 2 B。 C. D。 二、填空题1。 反比例函数（k0）的图象是_，当k0时，图象的两个分支分别在第_、_象限内，在每一个象限内，y随x的增大而_；当k0时，图象的两个分支分别在第_、_象限内，在每一个象限内,y随x的增大而_；2. 已知函数，当x0时,y_0，此时，其图象的相应部分在第_象限;*3. 当时，双曲线y=过点（，2)；4。 已知 （k0)的图象的一部分如图,则；5。 如图，若反比例函数的图象过点A，则该函数的解析式为_；*6。 若A（x1，y1），B（x2,y2），C（x3，y3)都是反比例函数的图象上的点,且x10x2x3，则y1,y2,y3由小到大的顺序是 ；*14. 已知y与x成正比例，z与y成反比例,则z与x成_关系，当时，；当时,，则当时,；7、已知y与(2x+1）成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=1时，y=_。8、如果反比例函数的图象经过点（3，1）,那么k=_.9、函数与y=2x的图象的交点坐标是_。10、已知一次函数y=ax+b图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x的增大而_。11、已知，那么y与x成_比例，k=_，其图象在第_象限。*12、反比例函数，当x0时，y随x的增大而增大，则m的值是 。三、解答题1. 已知反比例函数,分别根据下列条件求k的取值范围，并画出草图.（1）函数图象位于第一、三象限.（2）函数图象的一个分支向右上方延伸。2. 已知y与x的部分取值满足下表：x65432123456y11。21。5236321。51.21（1）试猜想y与x的函数关系可能是你们学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式。（不要求写x的取值范围）（2）简要叙述该函数的性质.3、直线过x轴上的点A（，0），且与双曲线相交于B、C两点，已知B点坐标为（，4)，求直线和双曲线的解析式.4、已知一次函数与反比例函数的图象的一个交点为P（a,b），且P到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式。5、已知函数是一次函数，它的图象与反比例函数的图象交于一点，交点的横坐标是,求反比例函数的解析式。6、已知反比例函数的图象经过点A(4，），若一次函数y=x+1的图象沿x轴平移后经过该反比例函数图象上的点B（2,m),求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标？试题答案一、1、B 2、C3、B 点拔：当m0时，函数的图象各自过哪几象限，当m0时,函数的图象各自过哪几象限。4、B 5、B 6、A7、D 点拔:反比例函数的形式可以写成的形式。8、C 把点P（m，n)代入双曲线得,由P点到原点的距离为得，且m、n是关于t的一元二次方程t23t+k=0的两根，根据韦达定理得，解得。9、C10、C 先根据两函数交点的值分别相等，即，解得，又A点在第一象限，所以，求出A点的坐标，得出OA=OB=2,AOB的面积是1。C 2。 B，把点（3，6)代入 ，求出k的值 3。 C，x0，答案A,B是错的，又k0，图象位于第二 象限。 4。 B,反比例函数可以写成形式 5。 B 6. A 7. B ab0，说明a与b异号，的图象必过原点,选项A中a，b同号，选项C,D正比例函数不过原点。二、11、2；12、3；13、；14、减小;15、反，6,二、四；16、1二、8.双曲线 一 三 减小 二 四 增大9。 二，点拔:函数的系数是10。 6，把过曲线的点代入，可以求出K的值 11。 12 y=13。 y2y3y1，点拔：先画出反比例函数的图象，在图象上选取符合条件的A，B，C三点，再根据数轴的特性，就可以得到答案了.14. 反比例 1三、17、由题意知点A（，0),点B（,4)在直线上，由此得直线的解析式为点B（，4）在双曲线上，双曲线的解析式为18、由题设，得,，或，19、由已知条件得 则反比例函数的解析式为：20、（1，0）三、15。 （1)k4 图略（2）k4 图略16. （1）反比例函数，y=。（2)该函数性质如下:图象与x轴、y轴无交点;图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限；图象在每一个分支都朝右上方延伸，当x0时，y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而增大.