反比例函数、图象及其主要性质.doc

(完整word)反比例函数、图象及其主要性质
反比例函数
一。 教学内容：反比例函数
教学目标：
1. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.
2。 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二. 重点、难点:
重点:能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
难点：反比例函数的应用。
三、知识要点
1、经历抽象反比例函数概念的过程,并能类推归纳出反比例函数的表达式
2、一般地,如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k不等于0）的形式，那么称y是x的反比例函数
从y=中可知，x作为分母,所以不能为零
3、画反比例函数图像时要注意以下几点
a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点
b 列表、描点时,要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线
c 在连线时要用“光滑的曲线"，不能用折线
4、反比例函数的性质
反比例函数

k的取值范围

图象

性质
①的取值范围是，的取值范围是
②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小
①的取值范围是，的取值范围是
②函数图象的两个分支分别在第二、四象限,在每一个象限内随的增大而增大
注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；
2）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；
3)在利用图象性质比较函数值的大小时,前提应是“在同一象限”内。
5、反比例函数系数的几何意义

如图，过双曲线上任意一点P作轴,轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为
∵
∴
∴，即过双曲线上任一点作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为
注意:①若已知矩形的面积为，应根据双曲线的位置确定k值的符号。
②在一个反比例函数图象上任取两点P，Q,分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2。

四、重点难点
重点：1、经历抽象反比例函数概念的过程
2、反比例函数的图像特点及性质的探究
3、通过观察图像,归纳总结反比例函数图像
难点：1、理解反比例函数的概念
2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息
3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质
五、典例解析
考点一、反比例函数的定义
例1、用电器的输出功率P与通过的电流I，用电器的电阻R之间的关系是,下面说法正确的是（ )
A. P为定值,I与R成反比例
B。 P为定值，与R成反比例
C。 P为定值，I与R成正比例
D。 P为定值,与R成正比例
分析：掌握常见的数学公式,物理公式对学习是非常有用的,在以后的学习中我们会经常遇到跨学科的题目，可化为，当P为定值时，成反比例。
本题的答案是：B

例2、为何值时， 是反比例函数？
分析:根据反比例函数表达式的一般形式也可以写成，后一种写法中的x的次数为－1，可知函数为反比例函数,必须具备两个条件：且二者缺一不可
解：

常见的错误：
1）不会把反比例函数的一般形式写成形式；
2）忽略了这个条件。

考点二：反比例函数的图象
例3、若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D。
分析：主要考查反比例函数的图象和性质。解答时，应先画出的图象，如图，然后把三点在图中表示出来，依据数轴的特性。

答案为A

例4、观察下面函数和的图像，请大家对比着探索它们的异同点

相同点：a、图像都是由两条曲线组成
b、它们都不与坐标轴相交
c、它们都不过原点
不同点：它们所在的象限不同，的两条曲线在第一和第三象限，的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形?
由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限,要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？
可以,当k大于0时,图像的两条曲线在第一、三象限内，当k小于0时,两条曲线分别位于第二、四象限.
考点三：反比例函数的性质
例5、已知反比例函数，分别根据以下条件求出的取值范围。
（1）函数图象位于第一、三象限内；
（2）在每一个象限内,随的增大而增大.
分析：反比例函数图象的位置是由的符号决定的，当时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小；当时,反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大.另外，由的符号可以推出反比例函数图象的位置和函数的变化情况，函数的增减性也可以推出的符号。本题的反比例函数的系数是，可先根据反比例函数的性质列出不等式，再解不等式求出的取值范围.
解：（1）∵双曲线在第一、三象限内，
∴
（2）∵在每一个象限内随的增大而增大
∴
例6、如图，反比例函数图像上任取两点P、Q,过点P分别作x轴,y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为，过点Q分别作x轴,y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为。
(1)与有什么关系？为什么？
（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合吗？

分析:任取P、Q两点有两种情况。一是在同一条曲线上取两点,二是在不同的曲线上取两点.根据所选的点的坐标与坐标轴所围成的面积=长×宽，可得，另外，反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，所以问题（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合
解：（1)
①P、Q两点在同一条曲线上:
设P()，过P点分别作x轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为，则

因为()在反比例函数的图像上，所以
即
所以
同理可知
所以=
②P、Q分别在不同的曲线上：

解法同1
同理可知 =
因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P、Q分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积、都有=
(2)若将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
考点五：反比例函数的实际应用
例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.
(1）如果小明以每分钟120字的速度录入,他需要多长时间才能完成录入任务？
（2)录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t（min)有怎样的函数关系．
（3)小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字?
分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度×录入时间
解：（1）24000÷120=200（分钟）
所以他需要用200分钟才能完成录入工作。
（2）函数关系式是：
（3）3h=180min

由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字.

例8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A)与电阻R（）之间的函数关系如图所示。

(1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
（2）完成下表，并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?

3
4
5
6
7
8
9
10

4

分析：从上图来看，I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k，要写出函数的表达式，实际上就确定了k（U)，只需要一个条件即可,而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，实际上填表是已知自变量求函数的值。
解:（1）设函数表达式为,
∵在图象上，
∴
∴
蓄电池的电压是36伏。
（2）

3
4
5
6
7
8
9
10

12
9
7。 2
6

4。 5
4
3. 6
电流不超过10A,即I最大为10A，代入关系式中得R=3.6,为最小电阻，所用电器的可变电阻应控制在这个范围内.

例9、反比例函数的图象上有一点P(m,n）其坐标是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点的距离为，求该反比例函数的解析式.
分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于k的方程。
解：∵ m,n是关于t的方程的两根
∴ m+n=3，mn=k，
又 PO=
∴
∴
∴ 9－2k=13。
∴ k=－2
当 k=－2时,△=9+8＞0,
∴ k=－2符合条件，
∴反比例函数的解析式为：
考点六:反比例函数与一次函数的应用
例10、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.

（1)根据图象，写出B点的坐标;
（2）求出两函数的解析式；
(3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值.
分析：（1）根据数轴上的坐标可以写出B点的坐标
（2）根据图象上的点代入函数的一般形式中可以求出函数关系式
(3）观察函数的图象，可以得出结论
解：（1）由图象可得B(4，3）
（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式得
∴反比例函数的关系式为
由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0,1）和（－2，0）
把这两点代入一次函数关系式+b得：
解得:
∴一次函数的关系式为：
（3）由图象可知，当时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。

例11、如图,平行于直线的直线不经过第四象限，且与函数的图象交于点A，过点A作AB⊥轴于点B,AC⊥轴于点C，四边形ABOC的周长是8,求直线的解析式。

分析:要求直线的解析式,只要设直线的解析式且求A点坐标代入即可，要求A点坐标，可根据四边形ABOC的周长为8得到A点的纵坐标+横坐标=4，再结合C
，即可求出A点的坐标值。
解：∵点A在函数的图象上，
∴设A点的横坐标为,由点A的纵坐标为，即A点的坐标为
∵AB⊥轴于点B,AC⊥轴于点C，∠BOC=90°
∴四边形ABOC是矩形，
∵四边形ABOC的周长是8，
∴
即
解得
当
∴A点坐标为（1，3）或(3，1）（由题意可知）
∴A点坐标为（1，3）
设直线的解析式为
把A点代入得
3=1+bb=2
∴直线的解析式为
【方法总结】
本讲主要运用归纳式教学，采用“探究－实验－归纳”的课堂教学方法，适时启发诱导,让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯。

课后检测
一、选择题
1。 下列不是反比例函数图象的特点的是 ( )
A。 图象是由两部分构成
B. 图象与坐标轴无交点
C。 图象要么总向右上方，要么总向右下方
D. 图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内
2. 若点（3，6）在反比例函数（k≠0）的图象上，那么下列各点在此图象上的是( ）
A。 （，6） B. （2,9) C。 (2，） D。 （3,）
＊3。 当时,下列图象中表示函数的图象的是 ( ）

4. 如果x与y满足，则y是x的 （ ）
A。 正比例函数 B。 反比例函数 C. 一次函数 D。 二次函数
5. 已知反比例函数的图象过（2，－2)和（－1，n），则n等于 （ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D。 12
6. 已知某县的粮食产量为a（a为常数)吨，设该县平均每人粮食产量为y吨,人口数为x，则y与x之间的函数关系的图象可能是下图中的 （ )

A。 B。 C. D。
7. 若ab＜0，则函数与在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（ )

A. B. C。 D.
8、下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. B。 C。 D.
9、函数y1=kx和的图象如图所示，自变量x的取值范围相同的是（ ）

10、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ )。

11、反比例函数 （k≠0）的图象的两个分支分别位于( ）象限.
A。 一、二 B。 一、三 C。 二、四 D。 一、四　
12、当三角形的面积一定时,三角形的底和底边上的高成（ ）关系.
A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D。 二次函数
13、函数与的图象可能是( )

A B C D
14、如图，是三个反比例函数在x轴上的图像，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A. k1>k2〉k3 B. k1>k3〉k2 C. k2>k3>k1 D。 k3>k2〉k1

15、已知双曲线上有一点P（m，n),且m、n是关于t的一元二次方程t2－3t+k=0的两根，P点到原点的距离为,则双曲线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
16、如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D,则四边形ABCD的面积为（ )
A。 1 B。 C. 2 D。

17、如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为
A. 2 B。 C. D。

二、填空题
1。 反比例函数（k≠0）的图象是__________，当k＞0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每一个象限内，y随x的增大而__________；当k＜0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每一个象限内,y随x的增大而__________；
＊2. 已知函数，当x＜0时,y_______0，此时，其图象的相应部分在第_______象限;
*3. 当时，双曲线y=过点（，2)；
4。 已知 （k≠0)的图象的一部分如图,则；

5。 如图，若反比例函数的图象过点A，则该函数的解析式为__________；

*6。 若A（x1，y1），B（x2,y2），C（x3，y3)都是反比例函数的图象上的点,且x1＜0＜x2＜x3，则y1,y2,y3由小到大的顺序是 ；
*＊14. 已知y与x成正比例，z与y成反比例,则z与x成__________关系，当时，；当时,，则当时,；
＊7、已知y与(2x+1）成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=－1时，y=________。
8、如果反比例函数的图象经过点（3，1）,那么k=_______.
9、函数与y=－2x的图象的交点坐标是____________。
10、已知一次函数y=ax+b图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x的增大而__________。
11、已知，那么y与x成_________比例，k=________，其图象在第_______象限。
*12、反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是 。
三、解答题
1. 已知反比例函数,分别根据下列条件求k的取值范围，并画出草图.
（1）函数图象位于第一、三象限.
（2）函数图象的一个分支向右上方延伸。
2. 已知y与x的部分取值满足下表：
x
－6
－5
－4
－3
－2
－1
2
3
4
5
6
……
y
1
1。2
1。5
2
3
6
－3
－2
－1。5
－1.2
－1
……
（1）试猜想y与x的函数关系可能是你们学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式。（不要求写x的取值范围）
（2）简要叙述该函数的性质.

3、直线过x轴上的点A（，0），且与双曲线相交于B、C两点，已知B点坐标为（，4)，求直线和双曲线的解析式.
4、已知一次函数与反比例函数的图象的一个交点为P（a,b），且P到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式。
5、已知函数是一次函数，它的图象与反比例函数的图象交于一点，交点的横坐标是,求反比例函数的解析式。
6、已知反比例函数的图象经过点A(4，），若一次函数y=x+1的图象沿x轴平移后经过该反比例函数图象上的点B（2,m),求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标？

试题答案
一、1、B 2、C
3、B 点拔：当m>0时，函数的图象各自过哪几象限，当m〈0时,函数的图象各自过哪几象限。
4、B 5、B 6、A
7、D 点拔:反比例函数的形式可以写成的形式。
8、C 把点P（m，n)代入双曲线得,由P点到原点的距离为得，且m、n是关于t的一元二次方程t2－3t+k=0的两根，根据韦达定理得，解得。
9、C
10、C 先根据两函数交点的值分别相等，即，解得，又A点在第一象限，所以，求出A点的坐标，得出OA=OB=2,△AOB的面积是
1。C
2。 B，把点（3，6)代入 ，求出k的值
3。 C，∵x〈0，∴答案A,B是错的，又k〈0，图象位于第二 象限。
4。 B,反比例函数可以写成形式
5。 B 6. A
7. B ab〈0，说明a与b异号，的图象必过原点,选项A中a，b同号，选项C,D正比例函数不过原点。
二、11、－2；12、3；13、；14、减小;15、反，－6,二、四；16、－1
二、8.双曲线 一 三 减小 二 四 增大
9。 ＞ 二，点拔:函数的系数是
10。 6，把过曲线的点代入，可以求出K的值
11。 ＞ 12 y=
13。 y2＜y3＜y1，点拔：先画出反比例函数的图象，在图象上选取符合条件的A，B，C三点，再根据数轴的特性，就可以得到答案了.
14. 反比例 1
三、
17、由题意知点A（，0),点B（,4)在直线上，由此得

∴直线的解析式为
点B（，4）在双曲线上
，
双曲线的解析式为
18、由题设，得

,
，或，

19、由已知条件得

则

∴反比例函数的解析式为：
20、（1，0）

三、15。 （1)k＜4 图略
（2）k＞4 图略
16. （1）反比例函数，y=。
（2)该函数性质如下:
①图象与x轴、y轴无交点;
②图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限；
③图象在每一个分支都朝右上方延伸，当x＜0时，y随x的增大而增大,当x＞0时,y随x的增大而增大.