(含详答)2018年上海春考数学试卷.doc

(完整版)(含详答)2018年上海春考数学试卷
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．不等式的解集为__________．
2．计算：__________．
3．设集合,，则__________．
4．若复数（是虚数单位），则__________．
5．已知是等差数列,若，则__________．
6．已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4,则动点的轨迹为 __________．
7．如图，在长方形中,，，， 是的 中点，则三棱锥的体积为__________．

第7题图 第12题图
8．某校组队参加辩论赛,从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．
9．设,若与的二项展开式中的常数项相等，则__________．
10．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围
是__________．
11．设，函数，,若函数与 的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________．
12．如图，正方形的边长为20米,圆的半径为1米,圆心是正方形的中心，点 、分别在线段、上，若线段与圆有公共点,则称点在点的“盲 区"中．已知点以1．5米/秒的速度从出发向移动，同时,点以1米/秒的速度 从出发向移动，则在点从移动到的过程中,点在点的盲区中的时长约 为__________秒（精确到0．1)

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分)
13．下列函数中，为偶函数的是( ）
（A） （B）
(C) （D）
14．如图，在直三棱柱的棱所在的直线中,与直线
异面的直线条数为（ ）
（A）1 （B）2
（C)3 （D)4
15．记为数列的前项和．“是递增数列"是“为递增数列”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C)充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16．已知、为平面上的两个定点，且．该平面上的动线段的端点、, 满足,，，则动线段所形成图形的面积为（ ）
（A)36 （B)60 （C）81 （D）108

三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知．
（1)若，且,求的值；
(2)求函数的最小值．

18． （本题满分14分，第1小题满分6分,第2小题满分8分）
已知，双曲线．
（1）若点在上，求的焦点坐标；
（2)若，直线与相交于、两点,且线段中点的横坐标为1，求实数的值．

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点、、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
(2)在图3中，已知平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°)．

图1 图2 图3
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设,函数．
（1）若,求的反函数；
(2）求函数的最大值(用表示）；
（3）设．若对任意，恒成立，求的取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分）
若是递增数列，数列满足:对任意，存在,使得，则称是的“分隔数列"．
（1）设，，证明:数列是的“分隔数列”;
（2）设，是的前项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；
(3）设，是的前项和,若数列是的分隔数列,求实数、的取值范围．
参考答案
一、填空题
1． 2．3 3． 4．2 5．15
6． 7．5 8．180 9．4 10．
11．
提示：

12．
提示：以为原点建立坐标系，设时刻为，则
则,化简得
点到直线PQ的距离，化简得
即，则
二、选择题
13．A 14．C 15．D
16．B
提示：建系，则的轨迹为线段，扫过的三角形面积为12,则利用相似三角形可知扫过的面积为48，因此和为60
三、解答题
17．（1）；（2）
18．(1）；（2)．
19．（1）;(2)．
20．（1）；（2）（时取最值)；
（3）
提示:

因为-a〈0,所以当x=0,t=1时,分母取到最小值从而分式值取到最小值，
此时
21．(1）证明：存在，此时 证毕
（2）不是．反例：时，无解；
（3）．
提示：因为为递增数列，因此或者
①当时，,因此
因此不存在，不合题意.
②当时,

两边同时取对数得：
记
则
下面分析函数的取值范围：
显然时,为减函数，
因此，即
（Ⅰ）当时，,因此总有
此时
因此总存在符合条件，使得成立
(Ⅱ）当时, ， 根据零点存在定理，并结合的单减性可知：
存在唯一正整数使得
此时
即
显然不存在满足条件的正整数
综上：
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