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数列典型习题及解题方法

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高中数学数列基本题型及解法
这部分内容需要掌握的题型主要有以下三个方面;（1）数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
一、知识整合
1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，
进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二、方法技巧
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法:对于n≥2的任意自然数，验证为同一常数。
（2）通项公式法：
①若  = +(n—1）d= +(n—k）d ，则为等差数列；
②若  ，则为等比数列。
(3）中项公式法：验证中项公式成立。
2. 在等差数列中,有关的最值问题--常用邻项变号法求解：  
(1）当〉0，d<0时，满足的项数m使得取最大值.
（2)当<0，d〉0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。
3。数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
三、注意事项
1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3．注意与之间关系的转化.如：
= , =．
4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路．
5．解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
四、例题解析
例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列,其前n项和为S．

（2）过点Q(1,a），Q（2，a)作直线12,设l与l的夹角为θ，
证明:（1）因为等差数列｛a｝的公差d≠0，所以

Kpp是常数（k=2，3，…，n)．

(2）直线l的方程为y—a=d（x-1），直线l的斜率为d．

例2．已知数列中，是其前项和,并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列,求证:数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
分析:由于{b｝和{c}中的项都和｛a｝中的项有关，{a}中又有S=4a+2,可由S—S作切入点探索解题的途径．
解:(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S—S=4(a—a)，即a=4a—4a．（根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2（a-2a)，又b=a—2a，所以b=2b　　　 ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②
由①和②得,数列｛b｝是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

当n≥2时，S=4a+2=2（3n—4)+2;当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2（3n—4）+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

例3．设数列｛an}的前项的和Sn=（an-1） (n+)，（1）求a1；a2; (2)求证数列{an｝为等比数列.
解： (Ⅰ）由，得 ∴ 又，即，得。
(Ⅱ)当n〉1时，
得所以是首项,公比为的等比数列。
例4、设a1=1，a2=，an+2=an+1—an （n=1,2,—-—）,令bn=an+1—an （n=1，2—-—）求数列｛bn｝的通项公式，（2）求数列｛nan｝的前n项的和Sn。
解:（I）因
故｛bn}是公比为的等比数列，且
(II)由

注意到可得
记数列的前n项和为Tn，则

例5．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。
⑴求点的坐标；
⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。
⑶设，等差数列的任一项,其中是中的最大数，,求的通项公式。
解：（1)

(2）的对称轴垂直于轴，且顶点为。设的方程为：
把代入上式,得,的方程为：.
，

=
（3)，

T中最大数。
设公差为,则，由此得

说明：本例为数列与解析几何的综合题,难度较大（1）、(2）两问运用几何知识算出,解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。
例6．数列中，且满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，，为等差数列,设公差为，
由题意得，.
（2）若,

时,

故
（3)

若对任意成立，即对任意成立,
的最小值是，的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意,均有
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.

常用方法

一． 观察法
例1:根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)9,99，999，9999，…
（2)
（3）
（4）
解：(1）变形为：101－1，102―1,103―1，104―1，……
∴通项公式为：
（2） （3） （4）.
观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系。
二、定义法
例2： 已知数列｛an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的（q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x） = (x－1）2,且a1 = f （d－1），a3 = f (d+1），b1 = f (q+1），b3 = f (q－1)，
（1)求数列｛ a n }和{ b n ｝的通项公式;
解:(1）∵a 1=f （d－1） = (d－2)2,a 3 = f （d+1)= d 2，
∴a3－a1=d2－（d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1）d = 2（n－1);又b1= f （q+1）= q2,b3 =f （q－1)=(q－2）2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·（－2)n－1
当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比.
三、      叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
解 易知
∵

……

各式相加得∴
一般地，对于型如类的通项公式,只要能进行求和，则宜采用此方法求解。
四、叠乘法
例4:在数列｛｝中， =1， (n+1）·=n·，求的表达式。
解:由（n+1）·=n·得，
=··…= 所以
一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。
五、公式法
若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式
求解.
例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.
（1)。 （2）
解： （1）
===3
此时,。∴=3为所求数列的通项公式。
（2),当时

由于不适合于此等式 。 ∴
注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一.
例6. 设数列的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系

求证：数列是等比数列.
解析：因为
所以

所以，数列是等比数列。
六、阶差法
例7.已知数列的前项和与的关系是
，其中b是与n无关的常数,且.
求出用n和b表示的an的关系式。
解析：首先由公式：得：

利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系,即
其和为。
七、待定系数法
例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2，c2=4，c3=7,c4=12，求通项公式cn
解：设

点评：用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列为等差数列：则，(b、ｃ为常数)，若数列为等比数列，则，。
八、 辅助数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式.
例9.在数列中，，，,求.
解析：在两边减去，得
∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，由累加法得
=
=…==
=
例10。(2003年全国高考题）设为常数，且（）,
证明：对任意n≥1,

证明:设，
用代入可得
∴ 是公比为，首项为的等比数列，
∴ （)，
即：
型如an+1=pan+f（n) （p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等。
（1)f（n）= q (q为常数），可转化为an+1+k=p(an+k）,得{ an+k ｝是以a1+k为首项,p为公比的等比数列.
例11:已知数的递推关系为，且求通项.
解：∵ ∴
令
则辅助数列是公比为2的等比数列
∴即 ∴
例12: 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。
解：∵
∴ ， 设，则
故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列
∴ ∴
例13。（07全国卷Ⅱ理21）设数列的首项．
（1）求的通项公式；
解:（1）由
整理得 ．
又，所以是首项为,公比为的等比数列，得

注:一般地,对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1）可等价地改写成
则｛｝成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的根。
(2） f（n)为等比数列,如f（n)= qn (q为常数) ,两边同除以qn,得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。
例14.已知数列{an}中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通项公式。
解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan）+1 令bn=2nan 则 bn+1=bn+1
易得 bn= 即 2nan=
∴ an=
（3) f(n)为等差数列
例15.已知已知数列｛an}中，a1=1,an+1+an=3+2 n,求an的通项公式。
解：∵ an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2（n+1)，两式相减得an+2—an=2
因此得，a2n+1=1+2（n—1）, a2n=4+2（n-1）， ∴ an=。
注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容,要理解掌握。
(4） f(n)为非等差数列，非等比数列
例16。（07天津卷理)在数列中，,其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
解：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1,首项为0,故，所以数列的通项公式为．
这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。
九、归纳、猜想
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
例17。(2002年北京春季高考）已知点的序列，其中,,是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…
（1） 写出与之间的关系式（)。
（2） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。
（3） 略
解析：（1）∵ 是线段的中点， ∴
（2）,
=,
=，
猜想,下面用数学归纳法证明
当n=1时，显然成立；
假设n=k时命题成立，即
则n=k+1时，=
=
∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意都成立。

例18：在数列｛}中,，则的表达式为 。
分析：因为，所以得:，
猜想：。
十、倒数法
数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出
例19．设数列满足求
解：原条件变形为两边同乘以得.
∵
∴

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