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关于导数的29个典型习题
习题1设函数在的某邻域内类(有一阶连续导数)，且若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。
解 由题设知 .
由洛比达法则知
故联立可解出
习题2 设其中有二阶连续导数，且.(1) 求(2) 讨论在上的连续性.
解 (1) 当时，用公式有

当时，用定义求导数，有

(2) 因在处有

而在处连续，故
习题3 证明：若（圆），其中为定数 则 定数。
证 求导， 即 再导一次， 即

注 恰是圆的半径.
习题4 证明：若在内可导，且 则
证 作辅助函数应Cauchy中值定理.
,由Cauchy中值定理有（显然）或
或
因 即
于是，.即
习题5 设在上有二阶导数，且
证明
证 以及任意，则有
即

由题设知下面求使
为最小。为此令解出而故知在处为最小. 从而可知

习题 6 设函数在内可导，且
试证使得
证 取数由介值定理知使在区间上分别应用微分中值定理有

从而 显然,当取
则 且 代入得

习题7 求在处的100 阶导数值。
解 由Taylor公式有.故

习题8 设证明
证 设应用Lagrange中值定理有
又设
则当时, 此时 单减.从而
即
习题10 设在内有定义，存在，且满足 如果求证
证 故 使
欲证
只需证明反证法，若则又为极大，故但另一方面
矛盾。故知若则仿上面的证明，有另一方面矛盾。故命题得证。
习题11设在内二阶可导，又设联结两点的直线与曲线相交于点，求证：在内至少存在一点使
证 对在上分别应用Lagrange中值定理，使
由于三点在同一直线上，所以再对在上应用Rolle定理可得：使
习题12 设在上有二阶导数试证 使得
证 令

则在上二阶可导，且对在上分别应用Rolle定理，使对由于在上可导，再用Rolle定理，使得而

令即得所求证的等式。
习题13 设二阶可导，且求证
证 二阶可导，且可导，由闭区间上连续函数的性质，使为最小值，且再由Taylor公式有

其中介于与之间，分别取得
当时，由前式推出当时，由后式推出由此即得
习题14 设试证
证 令则在上连续，在内可导，且由得唯一驻点由于在上的最大值为1，最小值为于是
习题15 设在上二阶可导，则在内必存在一点使
证 将在处展开，令即
类似在处展开，令则有

相减得 所以
其中
，即在内存在一点，使

习题16设在上二阶可导，且证明
证 将在点展开，求出的值：
相减
因此
因为
故有
当时，即
习题17 设在上二阶可导，且其最大值在内达到：试证
证(类似方法处理，先将在某点展开，再将0,1分别代入)
设是的最大值点，则有且应用Taylor公式有
因此

于是
习题22 设且证明使
（提示：用三阶Taylor公式，将在处展开，然后分别用0,1代,相减，利用条件便有
即于是
，即
在(0,1)内至少存在一点使）
第七节　函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1． 增量：变量从初值变到终值，终值与初值的差叫变量的增量，记作，即＝－。（增量可正可负）。
例1 分析函数当由变到时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义　　
　定义１：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果自变量的增量=趋向于零时，对应的函数增＝也趋向于零，则称函数＝在点处连续。
　定义２：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，即，则称函数＝在点处连续。
定义3：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式：，则称函数＝在点连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数在点连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数＝在点的某个邻域内有定义（函数＝在点有定义），（2） 存在；（3）。
3．函数＝在点处左连续、右连续的定义：
（1）函数＝在点处左连续Û在内有定义，且（即）。
（2）函数＝在点处右连续Û在内有定义，且（即）。
显然，函数＝在点处连续Û函数＝在点处既左连续又右连续。
(3)、函数＝在点处连续是存在的充分条件，而非必要条件。
3、函数在区间上连续的定义
定义4：如果函数＝在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数＝在该区间上是连续的。
例1：讨论下列函数在区间内的连续性
（1）
（2）
（3）
例2：设，试确定的值，使函数在处连续。
二、函数的间断点
（一）．间断点概念：设函数在内有定义（在点处可以无定义），如果函数在点处不连续，则称点为函数的一个间断点（或不连续点）。
函数在点连续： 函数在点不连续：
（1）函数在点有定义， （1*） 函数＝在点没有定义
（2） 存在； （2*）不存在
（3） （3*）存在，但在点 没有定义， 或
（二）.间断点的分类
设为函数的一个间断点，
1、第一类间断点
，都存在，
（1）若=，即存在，此类间断点称为可去间断点。
函数在点无定义，函数在点有定义，但。
（2）若¹，即不存在，此类间断点称为跳跃间断点。
2. 第二类间断点
与中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷
间断点和振荡间断点。
例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型
（1）
（2）
（3）
（4）

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