1、专题:对数函数知识点总结1.对数函数的定义:一般地,函数 ( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为a10a0且a1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x对称y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f-1(x) 如:f(x)=2x,则f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x对称专题应用练习一、求下列函数的定义域(1); (2) ; (3) (4)(5) y=lg (6) y=1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是_2.y= 的定义域是_3.求函数的定义域_4.函数y=
2、的定义域是5.函数ylog 2(324x)的定义域是 ,值域是 .6.函数的定义域_ 7.求函数的定义域和值域。8.求下列函数的定义域、值域:(1); (2); (3)(且)9.函数f(x)=ln()定义域 10.设f(x)=lg,则f的定义域为 11.函数f(x)=的定义域为 12.函数f(x)=的定义域为 ;13.函数f(x)=ln()的定义域为 14的定义域是 1. 设f (x)lg(ax22xa), (1) 如果f (x)的定义域是(, ),求a的取值范围;(2) 如果f (x)的值域是(, ),求a的取值范围15.已知函数(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围(2)若函数的值域
3、为R,求实数a的取值范围(3)若函数的定义域为,求实数a的值;(4)若函数的值域为,求实数a的值.16.若函数的定义域为,则函数的定义域为17.已知函数f(2x)的定义域是-1,1,求f(log2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a2x)的定义域为R,则实数a的取值范围为 19已知满足不等式,函数的值域是 20求函数的值域。21已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的值域.解:f(x)有意义时,有由、得x1,由得xp,因为函数的定义域为非空数集,故p1,f(x)的定义域是(1,p).(2)f(x)=log2(x+1)(
4、p-x)=log2-(x-)2+ (1xp),当1p,即p3时,0-(x-,log22log2(p+1)-2.当1,即1p3时,0-(x-log21+log2(p-1).综合可知:当p3时,f(x)的值域是(-,2log2(p+1)-2;当1p3时,函数f(x)的值域是(-,1+log2(p-1).二、利用对数函数的性质,比较大小例1、比较下列各组数中两个数的大小:(1),;(2),;(3),; (4),1.,的大小关系是_2.已知a2ba1,则m=logab,n=logba,p= logb的大小关系是_3.已知logm5logn5,试确定m和n的大小关系4.已知0a1,b1,ab1,则log
5、a的大小关系是 5.已知logblogalogc,比较2b,2a,2c的大小关系.6.设,则 7.8.9.设0 x 0,且a1,试比较| loga(1-x) |与| loga(1+x) |的大小。10.已知函数,则,的大小关系是_三、解指、对数方程:(1) (2)(3)(4)1.已知3a=5b=A,且=2,则A的值是 2.已知log7log3(log2x)=0,那么等于 3.已知log7log3(log2x)=0,那么x等于 4.若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 5.若,那么等于 6. 已知,则 7. 已知,求的值四、解不等式:1.2.3.设满足,给出下列四个不等
6、式:,其中正确的不等式有 4.已知:(1)在上恒有,求实数的取值范围。5.已知函数,当时,恒成立,求实数的取值范围。6.求的取值范围,使关于的方程有两个大于的根(2008全国)若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 7.已知0a1,b1,ab1,则loga的大小关系是 8.已知函数f(x)=logax(a0,a1),如果对于任意x3,+)都有|f(x)|1成立,试求a的取值范围9.已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-,1-上是单调递减函数.求实数a的取值范围.10.若函数在区间上是增函数,的取值范围 11.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是
7、12.若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是 13.设函数若,则的取值范围是()14.设a0且 a1,若函数f (x)有最大值,试解不等式0五、定点问题1.若函数y=loga(x+b) (a0,且a1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 2.若函数y=loga(x+b) (a0,且a1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 3.函数恒过定点 .六、求对数的底数范围问题1.(1)若且,求的取值范围 2. (2)若,求的取值范围 3.若且,则的取值范围_4.函数的定义域和值域都是,则的值为 .5.若函数在上单调递减,则的取值范围是6.函数y=log0.5(ax+a-
8、1)在x2上单调减,求实数a的范围 7.已知y=(2-)在0,1上是x的减函数,求a的取值范围. 8.已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数,求a的取值范围.9.已知函数f(x)=logax(a0,a1),如果对于任意x3,+)都有|f(x)|1成立,试求a的取值范围.10.若函数在上是增函数,的取值范围是 11.使成立的的取值范围是 12.若定义在(1,0)内的函数f (x)log2a(x1)满足f (x)0,则a的取值范围是 七、最值问题1.函数ylog ax在2, 10上的最大值与最小值的差为1,则常数a.2.求函数的最小值,最大值.。3.设a1,函数f(x)=l
9、ogax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为,则a= 4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a= 5.已知,则函数的最大值是 ,最小值是 .6.已知,求函数的最大值与最小值7.已知满足 ,求函数的最值。8.9.函数f (x)axlog (x+1)在0, 1上的最大值与最小值之和为a,则a 10.求函数的最小值11.函数 在区间 上的最大值比最小值大2,则实数 =_八、单调性1.讨论函数的奇偶性与单调性2.函数的定义域是 ,值域是 ,单调增区间是 3.函数的递减区间是 4.函数y=log1/3(x2-3x)的增区间是_5.证明函数在上是增函数6.函数在
10、上是减函数还是增函数?7.求函数的单调区间,并用单调定义给予证明.8.求y=(-2x)的单调递减区间9.求函数y=(-4x)的单调递增区间 10.函数y=log(x2-3x+2)的递增区间是 11.函数的值域是 ,单调增区间是 12.若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围1.证明函数y= (+1)在(0,+)上是减函数;2.已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-,1-上是单调递减函数.,求实数a的取值范围.3.已知函数,(其中实数)()求函数的定义域;()若在上有意义,试求实数的取值范围小结:复合函数的单调性的单调相同,为增函数,否则为减函数九、奇偶性1.函数的奇偶性是 。2
11、.若函数是奇函数,且时,则当时,3.偶函数在内单调递减,则之间的大小关系 4.已知是定义在上的偶函数,且在上为增函数,则不等式的解集为 5.已知函数若则.6.已知奇函数 满足 ,当 时,函数 ,则 =_7.8.知函数f(x)=loga (a0,且a1,b0)(1)求f(x)定义域;(2)讨论f(x)奇偶性;(3)讨论f(x)单调性9.a,bR,且a2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=是奇函数1)求b取值范围2)讨论函数f(x)单调性.10.设a,bR,且a2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=是奇函数.(1) 求b的取值范围;(2)讨论函数f(x)的单调性.11.已知函数其中,设
12、.(1)求函数的定义域,判断的奇偶性,并说明理由;(2)若,求使成立的的集合.十、对称问题与解析式1.已知函数的定义域是,且对任意的满足,当时有,请你写出一个满足上述条件的函数。2.已知函数满足(1)求的解析式;(2)判断的奇偶性;(3)讨论的单调性;(4)解不等式3.已知定义域为的函数满足条件:对于定义域内任意都有.(1)求证:,且是偶函数;(2)请写出一个满足上述条件的函数.5.已知函数f(x)=loga(x+1)(a1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x0,1)时总有f(x)+g(x)m成立,求m
13、的取值范围.解 (1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点,Q(-x,-y)在f(x)的图象上,-y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x).(2)f(x)+g(x)m,即logam.设F(x)=loga,x0,1),由题意知,只要F(x)minm即可.F(x)在0,1)上是增函数,F(x)min=F(0)=0.故m0即为所求1)证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上,所以点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,l
14、og2x2),由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=,OD的斜率为由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.(2)解 由于BC平行于x轴,知log2x1=log8x2,即得log2x1=log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2,得x31log8x1=3x1log8x1,由于x11,知log8x10,故x31=3x1,又因x11,解得x1=,于是点A的坐标为(,log8).6.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明:点C
15、、D和原点O在同一直线上;(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.7.设函数 且 求 的解析式,定义域; 讨论 的单调性,并求 的值域十一、对数函数图象1函数的图象是由函数的图象 得到。2. 函数的图象是由函数的图象 得到。3. 函数()的图象是由函数的图象当时向 _ 单位得到; 当时向 _ 单位得到; 当时向 _ 单位得到; 当时向 _ 单位得到。尝试总结:平移变换的法则_1.将函数y=2x的图象向左平移1个单位得到C1,将C1向上平移1 个单位得到C2,而C3与C2关于直线y=x对称,则C3对应的函数解析式是 2.函数的图像与对数函数的图像的关系,并画出它们的示意图,由图像写出它的单调区间
16、:(1); (2);(3) ;(4) 1.已知x1是方程xlgx3的根,x2是方程x10x3的根求函数f (x)的单调区间2.如图,曲线是对数函数 的图象,已知 的取值 ,则相应于曲线 的 值依次为( )3.方程的解的个数为 4.已知关于x的方程的两根均大于1,则实数的取值范围是 5.方程的实根个数是个.则x1x2 6.已知f(x)1logx3,g(x)2logx2,比较f(x)与g(x)的大小7.设a0且a1,求证:方程-x=2a的根不在区间-1,1内8.若 ,且 ,则 满足的关系式是 ()9.若 是偶函数,则 的图象是 ( )(A)关于 轴对称(B)关于 轴对称(C)关于原点对称(D)关于
17、直线 对称10方程 实数解所在的区间是 ( )(A) (B) (C) (D) 11.已知x、y为实数,满足(log4y)2=,试求的最大值及相应的x、y的值十二、附加内容(补充)本节主要介绍以下几个问题一、反函数的定义二、反函数的求法三、反函数存在的条件四、反函数的性质 y=ax及y=logax互为反函数,反函数的定义一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x),另一方面,x也是y的函数(x=g(y),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量,y表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x)与y=f(x)互为反函数y=ax与y=logax互为反函数注
18、意:f-1(x)与f(x)-1不同,前者表示反函数,后者表示f(x)的倒数求函数y=3x+6的反函数解:由已知:x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2Y=ax与y=logax (x|x0)互为反函数(由y=ax中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域二,反函数的求法步骤1、从y=f(x)中解出x; 2、求出原函数的值域即为反函数的定义域; 3,x、y互换并加注定义域即为所求反函数存在的条件y是x的函数,要求每个x对应惟一一个y; x是y的函数,要求每个y对应惟一一个x; 所以:反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一对应y=ax在定义域内单调,它存在反函数;一般的,定义域
19、内单调一定有x,y一一对应,故:一个函数在定义域内单调,则它一定存在反函数思考:存在反函数,是否一定在定义域内单调?(不一定,如y=1/x)反函数的简单性质1、原函数与反函数的定义域与值域对调2、ff-1(y)=y,f-1f(x)=x (由于x与y一一对应)3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对称。从而,原函数在定义域内单调,反函数也单调,而且与原函数具有相同的单调性1.求出函数y=log2 (-1x1)的反函数解:2y=,x=(yR) 反函数为:y= (XR)2.求函数y=1+ (x-5)的反函数(答:f-1(x)=(x1)3.若函数f(x)= 的反函数为 求常数a,b,c的值(答:a=5,b=2,c=1)4.已知y=x2-2ax+3在上存在反函数 求实数a的范围;求a取得最值时相应的反函数解:a1a=1时,y=x2-2x+32,x= 故反函数为f-1(x)=1+(x2)5.已知函数y=- 的反函数是f-1(x) 求f-1(-1)6.若函数f(x)的图象过点(1,2),则f-1(x)的图象一定经过点_7.若点(1,2)既在函数y= +b,又在其反函数的图象上,求实数a,b的值8.已知,(1)求其定义域;(2)解方程