特征函数在极限理论中的应用.doc

1. 集合列的特征函数
1.1集合E的特征函数定义：对于X中的子集E，作
=
称：是定义在X上的集合E的特征函数。
由定义知，特征函数在一定意义上作为集合E的代表。
借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。
1.2定理：对任意的集合列，有
=，
‚=，
ƒ集列收敛的充要条件是它的特征函数列收敛，且
=
定理说明了集列取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集列收敛性与数列收敛性等价。
证明：由特征函数的定义，=1或0，
，设=1有无限个，使得=1，
有无限个，使得，
，
=1 （*1）
，设=0有无限个，使得=0
有无限个，使得，
，
=0 （*2）
由（1）（2）式，得证。

2迭代数列收敛性与特征函数

2.1.定义：设=在区间I上有定义，数列满足迭代关系：
=（n=1,2，……） （*3）
若存在自然数N，使得当n>N时恒有I成立，则称F（x）和f（x）分别为迭代数列（*3）在区间I上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I上的生成迭代数列。
引理：设f（x）是在区间I上有定义的单调函数，是I的内点。若存在，则f（x）在处连续。
证明： 不妨设=A，f（x）在区间I上单调增加。
故当x<时，<，则A=，
当>时，>,则A=。
因此=A=，
故在处连续。
定理1：设=x-是迭代数列（*3）在区间I上连续的特征函数，且在I上单调增加。则
若I=[a,b>且F（a）=0，则存在且等于a，
‚若I=<a,b]且F（b）=0，则存在且等于b。
注：约定区间[a,b> , <a,b]或<a,b>中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是-或+；为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。

证明：（i）由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数n，
迭代数列（*3）恒有I=[a,b>,
则有下界。
再用反证法证明在I上单调减少：
若存在自然数使得< 即<,
则=-<0.
因为=0，所以<。
这与在I上的单调增加矛盾。
故数列在I上单调减少有下界，即存在。
在迭代数列（*3）中令，可得x=。
由题设可得=x-=0在I上有唯一实根，
于是由=a-=0得x=a，
故=a。
（ii）类似地可以证明数列在I=<a,b]上单调增加有上界，且=b。
定理2：设=x-是迭代数列（*3）在区间I=<a,b>上的特征函数，和在I上单调增加且存在I的内点使得=0，则存在且等于
证明：不妨设对一切自然数n，迭代数列（*3）恒有，
记=<a,],=[,b>.
由题设及引理得在和上均单调增加且连续。
若对有=，则由在I上单调增加有
==，
一般地由数学归纳法易证=（n=1,2，……）；
若对有=，类似地可以证明
（n=1,2，……）。
所以是迭代数列（*3）在或上的特征函数。
故由定理1，存在且等于。
利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用到迭代数列的求解中，简化极限运算。
这种方法解题的一般步奏是：
（1）求出函数=x-的单增区间（或和公共的单增区间）；
（2）求出方程=0在单增区间的根；
（3）判断是迭代函数列（1）在单增区间上的特征函数；
（4）判断极限存在并得出极限。
例1：设>0 ,=(n=1,2,……；0<c1)，证明存在且等于0。
证明：令=x-，
则’=1->0（x>0）且=0.

当>0时，恒有=>0（n=1,2，……），
故为迭代数列在单增区间[0,+)上连续的特征函数。
于是由定理1可得存在且等于0.
例2：设数列满足迭代关系=（n=1,2，……；a>0），证明存在并求此极限。
证明：由数学归纳法和均值定理可知，
当时有（n=2,3，……）；
当时有（n=2,3，……）。
所以是分别在区间和上连续的特征函数。
由F’=得在和上单调增加。
又因为解得。
所以由定理1得的极限存在且当时，；
当时，。
同理可证数列：（n=1,2，……；a>0）的极限存在且。
例3：设数列满足迭代关系（n=1,2，……；，），证明：对任意的初值，存在并求此极限。
证明：对任意的，有（n=2,3，……），
因此F（x）=是在区间上的特征函数。
又当时，（等号仅当时成立），
故和在单调增加，且。
由定理2可知的极限存在且等于0.
同理可证明（n=1,2，……；）的极限存在且，其中是的根。

3.极限定理证明的特征函数法
李亚普诺夫提出了一种以特征函数为基础的思想证明了中心极限定理，后来的
发展说明了李亚普诺夫的方法在证明最为多种多样的极限定理时，是十分有效的，这决定了它的发展和广泛应用。
3.1分布函数与特征函数对应的连续性
定理1：设是分布函数序列：，，而是相应的特征函数序列：
，
（1） 如果，其中是某一分布函数，则，其中是的特征函数。
（2） 如果对于每个存在极限，而函数在连续，则是某一概率分布的特征函数，且

注：设……是随机变量，且,则称随机变量……依分布收敛于，并记作定理时，常认为表达式.这一记号很直观（是distribution的字头），因此在表述极限定理时，常认为表达式比更好。
证明：将弱收敛的定义分别用于函数和，立即可以证明命题（1）；
命题（2）的证明，要求事先证明几个引理。
引理1：设是稠密概率测度族。假设序列的弱收敛子序列，都收敛于同一概率测度P。则整个序列也弱收敛于同一概率测度P
证明：假设结果相反，整个数列不收敛于P则存在这样的有界连续函数，使得
↛

由此可得，存在和无限数列，使得
（*4）
则由序列可以选出子序列，使得，其中是某一测度概率。
根据引理假设，所以有
，
而这与（*4）矛盾，从而引理得证。
引理2：设是稠密概率测度族，序列弱收敛于某种概率测度，当且仅当于每个存在极限，而函数测度的特征函数：

证明：如果概率测度族稠密，则存在数列和概率测度P，使得。
假设结果相反，整个数列不收敛于P，则根据引理1，存在子序列和概率测度，使得，且。
对于每个存在极限，则

从而
，。
由于特征函数唯一决定分布，故与假设↛矛盾。
最后，由弱收敛的定义可得引理相反的结论成立。
引理3：设是数轴上的分布函数，而是其特征函数，则存在常数，使得对于任何有
， （*5）
证明：由于
，
则

，
其中
=，
所以，当常数时（*5）式肯定成立。
定理1的命题（2）的证明：
设，，，其中在0连续。
现在证明，由此可得是稠密概率测度族，其中是对应于分布函数的测度。
由于（*5）和控制收敛定理，当时有
=

由于根据定义在0连续且，可得对于任何，存在使得对于一切，有
。
从而测度族稠密，而由引理2可得存在概率测度，使得
。
因此，
即。故是概率测度的特征函数。

3.2极限定理证明的特征函数法
定理2（辛钦大数定率）设……是独立同分布随机变量序列，且，，……+，则，即对任何，有
，
证明：设和，则由随机变量的独立性有

因此对任意，有
，
从而

函数在0处连续且是集中在点m的退化概率分布的特征函数。
所以
，
即
定理3（独立同分布随机变量的中心极限定理）设……是独立同分布（非退化）随机变量序列，且，……+，则当时，有
，， （*6）
其中

证明：设，而

那么，如果记
，
则

但
.
因此，对任意固定的t和，有
.
函数是均值为0而方差为1的正态分布（记作）的特征函数，故由定理1可得（*6）式成立。根据定理1的注，可将该结果写成