数列和不等式证明方法归纳(解析版).docx

数列与不等式证明方法归纳
共归纳了五大类，16种放缩技巧，30道典型例题及解析，供日后学习使用。
一、 数列求和
（1） 放缩成等比数列再求和
（2） 放缩成差比数列再错位相减求和
（3） 放缩成可裂项相消再求和
（4） 数列和比大小可比较单项
二、 公式、定理
（1） 利用均值不等式
（2） 利用二项式定理
（3） 利用不动点定理
（4） 利用二次函数性质
三、 累加、累乘
（1） 累加法
（2） 利用类等比数列累乘
四、 证明不等式常用方法
（1） 反证法
（2） 数学归纳法及利用数学归纳法结论
五、 其它方法
（1） 构造新数列
（2） 看到“指数的指数”取对数
（3） 将递推等式化为递推不等式
（4） 符号不同分项放缩

一、数列求和
（1）放缩成等比数列再求和
[典例1]已知数列，，，。
（Ⅰ）求证：当时：；
（Ⅱ）记，求证。
[解析]（Ⅰ）令，得（*）；
又，，两式相减得，即与同号（**）；
由（*）、（**）得；
（Ⅱ）令，得；
由（Ⅰ）得单调递减，即；
所以；
即。
[典例2]已知数列满足，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求证：。
[解析]（Ⅰ）由得，即；
所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得；
所以

[典例3]设数列满足，。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求正整数，使最小。
[解析]（Ⅰ）因为，且，即数列递增，所以，则，累加得，即，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，且；
累加得

；
即，所以；
所以正整数，使得最小。
（2） 放缩成差比数列再错位相减求和
[典例1]已知数列满足：，，求证：。
[解析]因为，所以与同号；
又因为，所以，即，即，所以数列为递增数列，所以，即；
累加得：；
令，所以，两式相减得：
，所以，所以；
故得。
[典例2]已知数列与其前项和满足。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：。
[解析]（Ⅰ）设公差为，所以，解得，所以；因为，所以，两式相减得；
将代入原等式，解得，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以（糖水原理）；
所以，有错位相减法得，所以，。
（3） 放缩成可裂项相消再求和
[典例1]已知。求证：。
[解析]即证；
因为；
所以；
即证；
记，下证；
因为；
所以
，即原不等式成立。
[典例2]已知数列满足，。
（Ⅰ）求证：是等比数列；
（Ⅱ）求证：。
[解析]（Ⅰ）因为，，两式相减得；
所以，是公比为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得；
因为；
所以

[典例3]设是数列前项之积，满足，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：。
[解析]（Ⅰ）因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，首项为2，所以，即，所以；
（Ⅱ）设，因为，即是递增数列，所以，即不等式左端成立；
又因为

，即不等式右端成立；
综上，。
（4） 数列和比大小可比较单项
[典例1]已知数列满足，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求证：。
[解析]（Ⅰ）由得，即；
所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；
（Ⅱ）设为数列的前项和，；
所以，要证，只需证，即；
即，显然成立；
所以，从而。
[典例2]已知，圆：与轴正半轴的焦点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为。对，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）若，，则。
[解析]（Ⅰ）由点在曲线上可得，又点在圆上，则
，，从而的方程为，由点
在上得：，将代入化简得
，则；
（Ⅱ）原不等式化为，将不等式左右两端分别看成数列、的前项和，则只需证，即；
因为，故，所以有
；
又因为当时，有，即，即，即；因为，所以，所以有；
综上，，即
二、公式、定理
（1）利用均值不等式
[典例]数列定义如下：，。证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）。
[解析]（Ⅰ）由，，得；
（Ⅱ）因为，所以，
累乘得；
（Ⅲ）先证；
由，得，即；
累加得，即不等式左端成立
再证；
因为，所以只需证，即；
因为，即；
所以，即不等式右端成立；
综上，。
（2）利用二项式定理
[典例]已知数列满足：，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，证明：。
[解析]（Ⅰ）设即与比较系数得，即又，故是首项为公比为的等比数列，故；
（Ⅱ）即证，当时显然成立。易验证当且仅当时，等号成立；
设下面先研究其单调性；
当时，；
所以，所以；即数列是递减数列；
因为，故只须证，即证；
因为故上不等式成立；
综上，原不等式成立。
（3） 利用不动点定理求数列通项
[典例1]已知函数，数列满足，，，。
（Ⅰ）求的取值范围，使对任意的正整数，都有；
（Ⅱ）若，，求证：，
[解析]（Ⅰ）因为（*），即，解得，所以；下证：时，恒有。
因为，且，即与同号，所以恒有，由（*）得；
综上，；
（Ⅱ）由不动点定点得与均是以为公比的等比数列；
所以，，所以，即不等式左端成立；
又因为
；累乘得，即不等式右端成立；
综上，
[典例2]已知函数，数列满足，，。
（Ⅰ）求的实数解；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论；
（Ⅲ）设数列的前项和为，证明：。
[解析]（Ⅰ），；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及不动点定理得是以为首项，为公比的等比数列；
所以，显然，所以取奇数时有，取偶数时有，即存在实数，使得对所有的都成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得；
先证；
只需证（为奇数），即，即；
因为为奇数，上述不等式化为；
因为；
所以，成立，即不等式左端成立；
再证；
只需证，由（Ⅱ）得为偶数时，，成立；
为奇数时，，即为奇数时，成立；
所以，成立，即不等式右端成立；
综上，。
（4） 利用二次函数性质
[典例]在正项数列中，，，为的前项和，且

（Ⅰ）比较与的大小；
（Ⅱ）令，数列的前项和为。
[解析]（Ⅰ）令，则有，所以
，即，所以；
（Ⅱ），，所以，，。
三、累加、累乘
（1）累加法
[典例1]已知数列，，，。
（Ⅰ）求证：当时：；
（Ⅱ）记，求证：。
[解析]（Ⅰ）令，得（*）；
又，，两式相减得，即与同号（**）；
由（*）、（**）得；
（Ⅱ）因为，所以累加得；即，即。
[典例2]已知，数列的首项，。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：，。
[解析]（Ⅰ），所以；
因为，所以，所以；
（Ⅱ）由递推关系可得，；
所以（*）；
又，得，即；
所以（**）；
结合（*）、（**），得，。
[典例3]已知数列满足=且=-（）
（Ⅰ）证明：1（）；
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明（）.
[解析]（Ⅰ）因为，所以，即数列递减，所以；又因为，即与同号，所以；
所以，即；
（Ⅱ）因为，累加得；
原不等式化为，即，即
，即；
因为，即；
又因为，所以，即，
累加得，
所以，即，所以。
（2） 利用类等比数列累乘
[典例1]设，给定数列，其中，，。求证：。
[解析]因为，所以；
累乘得，，即。
[典例2]已知数列满足：，且，设。
（Ⅰ）比较和的大小；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）设为数列的前项和，求证：。
[解析]（Ⅰ）因为，所以；
（Ⅱ）因为，所以，即；因为，，所以，即；故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中可知，
，且，所以；
又因为，所以，累乘得；所以
，
即原不等式成立。
[典例3]已知函数，数列(＞0)的第一项＝1，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和（）两点的直线平行（如图）求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）。
[解析]（Ⅰ）证明：因为所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是所以.
（Ⅱ）因为函数当时单调递增；
而；
所以，即因此
又因为令则
因为所以因此
故
[典例4]设数列满足，，其中。证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）。
[解析]（Ⅰ）因为，所以与同号，因为，所以；所以，
累乘得，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得；所以
，即原不等式成立。
四、证明不等式常用方法
（1）反证法
[典例1]设，给定数列，其中，，。求证：
（Ⅰ），；
（Ⅱ）如果，那么当时，必有。
[解析]（Ⅰ）用数学归纳法可证；
因为，所以；
即；
（Ⅱ）反证法：若当时，有；
因为，，且由（Ⅰ）得单调递减；
所以，即，与假设矛盾，所以当时，必有。
[典例2]已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有，且。求证：。
[解析]先用反证法证明；
①若当且仅当时，有；
令，则有，因而与矛盾，假设不成立；
②若当时，有；
令，则有，再令，则有，因而与矛盾，假设不成立；
③若当时有，则，且由题意得，当时，，因而与矛盾，假设不成立；
结合上述①②③得，假设不成立，原命题成立，即；
再用反证法证明；
若存在时，有，即；
由题意得，，所以；
累加得；
所以

当时，有，因而与矛盾；
假设不成立，原命题成立，即；
综上，。
（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论
[典例]设数列满足，，证明对：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）。
[解析]（Ⅰ）数学归纳法：
①令，，命题成立；
②假设时，命题成立，即；
令，成立；
由①②得，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中数学归纳法中间步骤得，即；所以
五、其它方法
（1）构造新数列
[典例]设数列满足，为的前项和。证明：对，
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当时，；
（Ⅲ）当时，。
[解析]（Ⅰ）由于（*）；
又由于，即，即与同号，且，所以（**）；
结合（*）、（**），得时，有；
（Ⅱ）因为，且，所以，即是单调递增数列；
由（Ⅰ）得；
所以；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，，所以，所以，即不等式右端成立；
令，由（Ⅰ）（Ⅱ）得；
由，可得；
从而；
又，故，即；
注意到；
故；
即，即，即不等式左端成立；
综上，当时，有。
（2） 看到“指数的指数”取对数
[典例]已知数列满足：，。证明：。
[解析]先证；
因为；
两边取以2为底的对数，得，即；
累乘得，所以，即不等式左端成立；
再证；
因为，所以；
所以，即；
两边取以3为底的对数，得，即；
累乘得，所以，即不等式右端成立；
综上，。
（3）将递推等式化为递推不等式
[典例1]已知数列满足：，。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求正整数的最小值。
[解析]（Ⅰ）由于，且，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，即；
累加得，所以，即，即；
（Ⅲ）取最小值时，有，；
所以，即；
所以，即；
累加得，所以，即，即；
由（Ⅱ）得，，所以当时，有，所以最小值为2018。
[典例2]已知数列满足：，。证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）。
[解析]（Ⅰ）因为，所以；
所以；
（Ⅱ）先证；
因为，所以；
累加得；所以
即，不等式右端成立；
再证；
因为，所以；
所以，所以；
累加得
即，即，所以，即不等式左端成立；
综上，。
（4）符号不同分项放缩
[典例]已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（Ⅰ）求数列的前项和；
（Ⅱ）记，，求证：．
[解析]（Ⅰ），，；
所以；
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得；
先证；
因为，，；
所以

；
再证；

；
综上。
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