2018年全国卷3文科数学试题及参考答案.doc

绝密★启用前
试题类型：新课标Ⅲ
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
【考点】交集
2．( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【考点】复数的运算
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

【答案】A
【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失
【考点】三视图
4.若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【考点】余弦的二倍角公式
5.某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【考点】互斥事件的概率
6.函数的最小正周期为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，(定义域并没有影响到周期)
【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期
7.下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】采用特殊值法，在取一点，则点关于直线的对称点为应该在所求函数上，排除A，C，D
【考点】函数关于直线对称
8．直线分别与轴、轴交于点两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，可设，则

注：的范围也可以这样求：设圆心为，则，故，而，
【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)

9．的图像大致为( )

【答案】D
【解析】，排除A、B；，故函数在单增，排除C
【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)
10.已知双曲线的的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
渐近线为
故
【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化
11.的内角的对边分别为，若的面积为，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，而
故，
【考点】三角形面积公式、余弦定理
12.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，为球心，为等边的重心，
易知底面，当三点共线，
即底面时，三棱锥的高最大，体积也最大. 此时：
，
在等边中，，
在中，易知，，故
【考点】外接球、椎体体积最值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知向量，，. 若，则
【答案】
【解析】，故
【考点】向量平行的坐标运算
14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法是______.
【答案】分层抽样
【解析】题干中说道“不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异”，所以应该按照年龄进行分层抽样
【考点】抽样方法的区别
15.若变量满足约束条件，则的最大值是_________.
【答案】
【解析】采用交点法：(1)(2)交点为，(2)(3)交点为，(1)(3)交点为
分别代入目标函数得到，，，故最大值为3(为了严谨可以将最大值点代入方程(1)检验一下可行域的封闭性)
本题也可以用正常的画图去做
【考点】线性规划
16. 已知函数，，则
【答案】
【解析】令，则，
，而
【考点】对数型函数的奇偶性

三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17. (12分)
等比数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和. 若，求.
【答案】(1)或；(2)
【解析】(1)，，或
(2) 当时，，解得
当时，，得无解
综上：
【考点】等比数列通项公式与前项和公式
18. (12分)
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式

第二种生产方式

8
6
5
5
6
8
9

9
7
6
2
7
0
1
2
2
3
4
5
6
6
8
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
8
1
4
4
5

2
1
1
0
0
9
0

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；
【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上同理，，故第二组生产方式效率更高
(2)由茎叶图可知，中位数，且列联表为：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由(2)可知，
故有的把握认为两种生产方式的效率有差异
【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验
19．(12分)
如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，是上异于的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)为中点
【解析】(1)
(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)
(2)当为的中点时，平面. 证明如下
连接，交于点，易知为中点，取中点，连接，则，又平面，平面，所以平面

【考点】面面垂直的判定、线面垂直、存在性问题
20. (12分)
已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且. 证明.
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1) 点差法：设，则相减化简可得：
，(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，，易知中点在椭圆内，，代入可得或，又，，综上
联立法：设直线方程为，且，联立可得，
，则，
，两式相除可得，后续过程和点差法一样(如果用算的话比较麻烦)
(2) ，，即，，，
由(1)得联立后方程为，
(椭圆的第二定义)
(或者代入椭圆方程消掉
同理，)
而

【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、向量的坐标运算、利用椭圆方程消
21. (12分)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】(1)
因此曲线在点处的切线方程为：
(2) 当时，(利用不等式消参)
令则，，
单调增，又，
故当时，，单减；当时，，单增；
故
因此
【考点】切线方程、导数的应用
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 选修：坐标系与参数方程(10分)
在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点.
(1) 求的取值范围；
(2) 求中点的轨迹的参数方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)当时，直线，符合题意；
当时，设直线，由题意得，即，又，
综上，
(2)可设直线参数方程为，代入圆的方程可得：

即点的轨迹的参数方程为
(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况)
【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程

23. 选修：不等式选讲(10分)
已知函数.
(1)画出的图像；
(2)当时，，求的最小值.
【答案】(1)见解析；(2)5
【解析】(1)，图象如下

(2)由题意得，当时，的图象始终在图象的上方，结合(1)中图象可知，，当时，最小，最小值为5，
【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题

2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第13页（共13页）