江苏省无锡市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析.doc

2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.
1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B=　　．
2．函数的最小正周期为　　．
3．若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　　．
4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为　　．
5．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=　　．
6．已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为　　．
7．已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=　　．
8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为　　．
9．在△ABC中，E是边AC的中点， =4，若=x+y，则x+y=　　．
10．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=　　．
11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是　　．
12．若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=　　．
13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是　　．
14．若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是　　．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
15．已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．
（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；
（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．
16．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．
（1）求cos（α+）的值；
（2）求cos（2α+π）的值．
17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：
x
1
4
7
12
y
229
244
241
196
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•bx．
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．
18．已知函数f（x）=（）x﹣2x．
（1）若f（x）=，求x的值；
（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．
19．已知t为实数，函数f（x）=2loga（2x+t﹣2），g（x）=logax，其中0＜a＜1．
（1）若函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；
（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．
20．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．
（1）当m=0时，求f（）的值；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.
1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B=　{0，2，3}　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与并集的定义，写出运算结果即可．
【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，
则∁UA={0，3}，
所以（∁UA）∪B={0，2，3}．
故答案为：{0，2，3}．

2．函数的最小正周期为　π　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．
【解答】解：函数，
∵ω=2，
∴T==π．
故答案为：π

3．若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　5　．
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，从而f（f（﹣2））=f（3），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，
f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．
故答案为：5．

4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为　﹣　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，可得tan300°=﹣=，从而求得m的值．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），
∴tan300°=tan=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，
故答案为：﹣．

5．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=　4　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点（，），
∴=，解得：α=﹣2，
故f（x）=x﹣2，f（）==4，
故答案为：4．

6．已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ 的值．
【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，
则cosθ===﹣，∴θ=，
故答案为：．

7．已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=　　．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．
【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，
∴sinα=，
∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，
故答案为：．

8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为　[0，2]　．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】根据x∈[﹣，]，得出1≤3cosx+1≤4，利用对数函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴0≤cosx≤1，
∴1≤3cosx+1≤4，
∴0≤log2（3cosx+1）≤2，
故答案为[0，2]．

9．在△ABC中，E是边AC的中点， =4，若=x+y，则x+y=　﹣　．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由E是边AC的中点， =4，可得=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．
【解答】解：∵E是边AC的中点， =4，
∴=，
所以x=﹣，y=，x+y=﹣．
故答案为：﹣．

10．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=　sin（4x+）　．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先求函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，图象的函数表达式，再求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式．
【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，
得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，
将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x+ ）
故答案为：sin（4x+ ）．

11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是　（0，2）　．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，
∴，求得0＜a＜2，
故答案为：（0，2）．

12．若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=　　．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]的值．
【解答】解：∵═==，∴tanα=，
又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]= = =，
故答案为：．

13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是　[﹣2﹣2，﹣2]　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合以及一元二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：如x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），
则f（x）=4x+x2，x＜0，
则函数f（x）=，
则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，
当x＜0，f（x）=4x+x2=（x+2）2﹣4≥﹣4，
当x＜0时，由4x+x2=4，即x2+4x﹣4=0得x==﹣2﹣2，（正值舍掉），
若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，
则﹣2﹣2≤t≤﹣2，
即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，
故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]

14．若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是　[，]　．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意求得ω≤2，区间[π，]内的x值满足 kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，求得k+≤ω≤（k+），k∈z，再给k取值，进一步确定ω的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，
∴T=≥，即ω≤2．
∵ω＞0，根据函数y=|sinx|的周期为π，减区间为[kπ+，kπ+π]，k∈z，
由题意可得区间[π，]内的x值满足 kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，
即ω•π+≥kπ+，且ω•+≤kπ+π，k∈z．
解得k+≤ω≤（k+），k∈z．
求得：当k=0时，≤ω≤，不符合题意；当k=1时，≤ω≤；当k=2时，≤ω≤，不符合题意．
综上可得，≤ω≤，
故答案为：[，]．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
15．已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．
（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；
（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由与向量2﹣垂直，可得•（2﹣）=0，解得k．
（2）利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：（1）=+k=（﹣3+k，1﹣2k），2﹣=（﹣7，4）．
∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）=0，解得k=．
（2）k+=（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，
∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）=0，解得k=．

16．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．
（1）求cos（α+）的值；
（2）求cos（2α+π）的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式求得 sin（α+）的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 cos（α+） 的值．
（2）利用二倍角公式求得 cos（2α+）的值，可得sin（2α+）的值，从而求得cos（2α+π）=cos[（2α+）+]的值．
【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．
∴cos（α+）==．
（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+） cos（α+）=2••=，
∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．

17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：
x
1
4
7
12
y
229
244
241
196
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•bx．
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由题意知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，排除另2个函数，选二次函数模型进行描述；
（2）由二次函数的图象与性质，求出函数y=﹣x2+10x+220在x取何值时有最小值．
【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；
所以，应选取二次函数y=﹣x2+ax+b进行描述；
（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣x2+ax+b，解得a=10，b=220，
∴y=﹣x2+10x+220，1≤x≤12，x∈N+，
y=﹣（x﹣5）2+245，∴x=5，ymax=245万元．

18．已知函数f（x）=（）x﹣2x．
（1）若f（x）=，求x的值；
（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的值．
【分析】（1）由f（x）=（）x﹣2x=可求得2x=，从而可求得x的值；
（2）由f（x）=（）x﹣2x可判断f（x）为奇函数，且为减函数，不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）⇔2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，分离参数m，利用函数的单调性可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）令t=2x＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，
即2x=，所以x=﹣2…6分
（2）因为f（﹣x）=﹣2﹣x=2x﹣=﹣f（x），
所以f（x）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由
f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分，
又f（x）=（）x﹣2x在R上单调递减，…9分，
所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，
所以m＞，θ∈[0，]，…12分，
令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，
y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分

19．已知t为实数，函数f（x）=2loga（2x+t﹣2），g（x）=logax，其中0＜a＜1．
（1）若函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；
（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．
【考点】函数单调性的判断与证明；对数函数的图象与性质．
【分析】（1）根据偶函数的定义可得k的值；
（2）构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），根据对数函数的图象和性质可得，只需要t＞﹣2x++2恒成立，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；
（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2loga（2x+2）|=2，得到x=或，即可得到n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，求出a即可．
【解答】解：（1）∵函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，
∴loga（a﹣x+1）+kx=loga（ax+1）﹣kx，对任意x∈R恒成立，
∴2kx=loga（ax+1）﹣loga（a﹣x+1）=loga（）=x
∴k=，
（2）由题意设h（x）=f（x）﹣g（x）=2loga（2x+t﹣2）﹣logax＜0在x∈[1，4]恒成立，
∴2loga（2x+t﹣2）＜logax，
∵0＜a＜1，x∈[1，4]，
∴只需要2x+t﹣2＞恒成立，
即t＞﹣2x++2恒成立，
∴t＞（﹣2x++2）max，
令y=﹣2x++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，x∈[1，4]，
∴（﹣2x++2）max=1，
∴t的取值范围是t＞1，
（3）∵t=4，0＜a＜1，
∴函数y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，
∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，
∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），
令|2loga（2x+2）|=2，得x=或，
又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，
∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，
∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，
∴a=．

20．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．
（1）当m=0时，求f（）的值；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数f（x）即可．
（2）求出函数f（x）的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=coscos﹣sinsin=cos（+）=cos2x，
当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，
则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；
（2）∵x∈[﹣，]，
∴|+|===2cosx，
则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，
令t=cosx，则≤t≤1，
则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，
①当＜，即m＜1时，
当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），
②当≤≤1，即m＜1时，
当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，
③当＞1，即m＞2时，
当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），
综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=．
（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，
∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，
则，得，则≤m＜，
即实数m的取值范围是≤m＜．
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