空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc

空间向量的夹角、距离计算同步练习题一、选择题1.已知A(2，-5,1)，B(2，-2,4)，C(1，-4,1)，则直线AC与AB的夹角为（ C ）A.300 B.450 C.600 D.9002.已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，则a与b的夹角为()A0 B45C90 D180解析：选C.已知a(0，2，1)，b(1，1，2)，则cosa，b0，从而得出a与b的夹角为90.3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a=（0,2,1），b=（，），那么这条直线与平面的夹角为(D)A. 900 B. 600 C.450 D. 3004. 边长为a的正六边形ABCDEF所在平面为，PA且PAa，则PC与所成的角为(A)A. 30 B. 60 C. 45 D. 905在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.aB.a C.a D.a解析：以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，D(0,0,0)，设n(x，y，z)为平面BMD的法向量，则n0，且n0，而，.所以所以令z2，则n(1,1,2)，(a,0，a)，则A1到平面BDM的距离是da.答案：A6. 已知向量n=（1,0，-1）与平面垂直，且经过点A（2,3,1），则点P（4,3,2）到的距离为(B )A. 1 B. C. D. 27. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为（ A ）A. B. C. D.8若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60 C30 D60或30解析：选C.由题意得直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030.9设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A45 B30 C90 D60解析：选D.以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)cos，.，120.AC与BF所成的角为60.10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B. C D.解析：选A.建立如图坐标系，则D1(0,0，3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，(2，2,3)，(2,2,0)cos，0.，90，其余弦值为0.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A B. C D.解析：选B.建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin |cosn，|.12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为 ()A. B. C. D.解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：B二、填空题13. 已知a，b是直线，是平面，a，b，向量a1在a上，向量b1在b上，a1(1,0,1)，b1(1,2,1)，则，所成二面角的大小为_ 90_14. 正三角形PAB与正方形ABCD所在平面互相垂直，正方形的边长为a，则点D到直线PB的距离是_a _15平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_解析：设u(1,0，1)，v(0，1,1)，则cos |cosu，v|.或.答案：或16已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点则直线AC与DE所成角的余弦值为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E，(a，a，a)，cos，.答案：三、解答题17正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点求：异面直线AE与CF所成角的余弦值解：设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，则(1,0,2)，(1，1,2)，|，|.1043.又|cos，cos，cos，所求角的余弦值为.18已知正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离解析：如图建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，E，F，G，设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，则，xyz，可取n(1,1,1)，da.即点A到平面EFG的距离为a.19. 正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的余弦值解析： (1)取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，、的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)2200，1430，.AB1平面A1BD；(2)设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)n，n，令z1，得n(，0,1)为平面A1AD的一个法向量由(1)知AB1平面A1BD，为平面A1BD的法向量cosn，.二面角AA1DB的余弦值为.20如图，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB2，PA.(1)求证：PAB1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，P(1,1,4)(1)证明：(1,1,2)，(2,2,0)，2200，PAB1D1.(2)平面BDD1B1的法向量为(2,2,0)(2,0,0)，(1,1,2)设平面PAD的法向量为n(x，y，z)，则n，n.取n(0，2,1)，设所求锐二面角为，则cos.21.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值解析： 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. （II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角QBPC的余弦值为 .22.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，E是棱PB的中点(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD，求二面角AECD的平面角的余弦值解析：设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E.所以，(0，a,0)，(，0，)，则0，0.所以AE平面PBC.又由AEAD，故直线AD与平面PBC的距离为|.(2)因为|，则D(0，0)，C(，0)设平面AEC的法向量n1(x1，y1，z1)，则n10，n10.又(，0)，故所以y1x1，z1x1.可取z1，则n(，2，)设平面DEC的法向量n2(x2，y2，z2)，则n20，n20.又(，0,0)，故所以x20，z2y2.可取y21，则n2(0,1，)故cosn1，n2.所以二面角AECD的平面角的余弦值为.23.如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1.(1)设P为AC的中点，Q在AB上，且AB3AQ，证明：PQOA；(2)求二面角O ACB的平面角的余弦值解析：(1)取O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为x轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B.P为AC中点，P.，.又，.(1,0,0)0.PQOA.(2)设平面ABC的法向量n(n1，n2，n3)，则由n，n，且(1,0，1)，得取n11，则n(1，1)又平面OAC的法向量为e(0,1,0)，cosn，e.故二面角OACB的平面角的余弦值为.24. 在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M为AB的中点(1)求证：ACSB；(2)求点B到平面SCM的距离解析：(1)取AC的中点E，连接BE、SE，则由已知，得SEAC，BEAC.AC面SBE.ACSB.(2)建立如图所示的空间直角坐标系则C(0,2,0)，S(0,0,2)，A(0，2,0)，B(2，0,0)M(，1,0)(，1，2)，(，3,0)设n(x，y,1)为面SCM的一个法向量，则n(，1,1)(，1,0)，点B到面SCM的距离为.7