专题8二次函数与圆组合压轴题.doc

专题八 二次函数压轴题
一、核心讲练
1.如图在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
(1)求证：直线AB是⊙Q的切线；
(2)过点A左侧x轴上的任意一点C(m，0)，作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-x-6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；
(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

3.如图，已知二次函数y=x2-4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
(1)点B，C的坐标分别为B(　 　)，C(　 　)；
(2)是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=　　 ．

二、满分突破
如图，y关于x的二次函数y=- (x+m)(x-3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为(-3，0)，连接ED．(m＞0)
(1)写出A、B、D三点的坐标；
(2)当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
(3)当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．

专题八 课堂小测
1.下列实数中最大的数是(　　)
A.3 B.0 C. D.-4
2.将180 000用科学记数法表示应为(　　)
A.18×104 B.1.8×105 C.1.8×106 D.18×105
3.一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为(　　)
A.40° B.45° C.50° D.10°
4.为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是(　　)
A.3、3、3 B.6、2、3 C.3、3、2 D.3、2、3
户外活动的时间(小时)
1
2
3
6
学生人数(人)
2
2
4
2

5.下列根式是最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(　　)
A.30° B.45° C.50° D.75°
7.某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？(　　)
A.140元 B.150元 C.160元 D.200元
8.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(　　)
A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-x)2 C.x2+6=(10-x)2 D.x2+62=(10-x)2
9.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2，0)和(4，0)；④若点(m，n)在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有(　　)
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
10.若单项式-5x4y2m+n与2017xm-ny2是同类项，则m-7n的算术平方根是　 　．
11.若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为　 　．
12.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有　 　个点．

13.将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(-1，2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为　 　．
14.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是　 　．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，DE:DO=，则BN的长为　 　．

参考答案
一、核心讲练
例1. (1)连接QP．在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB=5，∵AP=4t，AQ=5t，∴=，∵∠PAQ=∠BAO，∴△PAQ∽△BAO，∴∠APQ=∠AOB=90°，∴QP⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
(2)①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
易知PQ=DQ=3t，CQ=•3t=，∵OC+CQ+AQ=4，∴m+t+5t=4，∴m=4-．
②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．∵OC+AQ-CQ=4，∴m+5t-=4，∴m=4-t．
(3)存在．理由如下：如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=，由(2)可知，m=-或.如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t-3t=4，t=2，由(2)可知，m=-或．
综上所述，满足条件的点C的坐标为(-，0)或(，0)或(-，0)或(，0)．

例2. (1) y=-x2-2x+4；(2)直线AB的解析式为y=2x+4，设E(m，2m+4)，∴G(m，-m2-2m+4)，∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴-m2-2m+4-2m-4=4，∴m=-2，∴G(-2，4)．
(3)①如图1，由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E(a，2a+4)，∵直线AC：y=-x-6，
∴F(a，-a-6)，设H(0，p)，∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=-x-6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴(-4+0)=(a+a)，(4+p)=(2a+4-a-6)，
∴a=-2，P=-1，∴E(-2，0)．H(0，-1)；
②如图2，由①知，E(-2，0)，H(0，-1)，A(-4，-4)，∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，
∴==，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P(p，2p+4)，∵E(-2，0)，∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2，∵PE=，∴5(p+2)2=，
∴p=-或p=- (由于E(-2，0)，所以舍去)，∴P(-，-1)，∵C(0，-6)，∴PC=，即AM+CM=．

例3.(1) 3，0；0，﹣4；
(2)存在点P，使得△PBC为直角三角形，
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图(2)a，连接BC，∵OB=3．OC=4，∴BC=5，
∵CP2⊥BP2，CP2=，∴BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，则△CP2F∽△BP2E，
∴=，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，∴==2，∴x=，2x=，
∴FP2=，EP2=，∴P2(，-)，过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1(-1，-2)，
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，
∴，∴CH=，P4H=，∴P4(，--4)；同理P3(-，-4)；
综上所述：点P的坐标为：(-1，-2)或(，-)或(，-﹣4)或(-，-4)；
(3)如图(3)，连接AP，∵OB=OA，BE=EP，∴OE=AP，∴当AP最大时，OE的值最大，∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=5+，∴OE的最大值为

二、满分突破
(1)A(-m，0)，B(3m，0)，D(0，m)．
(2) y=mx+m．将y=－(x+m)(x－m)化为顶点式：y=－(x﹣m)2+m．∴顶点M的坐标为(mm)．代入y=mx+m得：m2=m，∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．
连接CD，C为AB中点，C点坐标为C(m，0)．∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上，又∵OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠EDC=90°∴直线ED与⊙C相切．
(3)当0＜m≤3时，S△AED=AE•OD=m(3-m)，S=-m2+m；当m＞3时，S△AED=AE•OD=m(m-3)．即S=m2_ m．　　S关于m的函数图象的示意图如右：

课堂小测
1.A；2.B；3.D；4.A；5.C；6.B；7.B；8.D；9.C；10.4；11. k＜3且k≠1；12.135；13.4；14.60°或120°；15.3；

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