初中三角形全等之旋转和对称经典模型.doc

初中全等三角形旋转和对称经典模型

一.旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，就叫做
图形的旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角；
二.旋转的性质
（1）旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等．
（2）对应点到旋转中心的距离相等．
（3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．
三.旋转对称图形
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）
四.旋转对称图形
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）
五.典型模型
1、等线段共点

2、绕点型（手拉手模型）
（1）自旋转：
自旋转构造放方法：
①遇60°旋60°，构造等边三角形；
②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形；
③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；
④遇中点180°，构造中心对称。

（2）共旋转

模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
3.中点旋转（拓展）：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
4、半角模型
说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

5.角分线模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
6.对称半角模型（拓展）

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

7.对称最值(两点间线段最短)

8.对称最值(点到直线垂线段最短)

说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值(共线有最值)

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
9、费马点问题（兴趣拓展）
在三角形ABC中，找一点P，使其到顶点A、B、C三点距离之和最短。该点就是费马点

例1 如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．

分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．
解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO’B的位置，
则△AOC≌△AO’B．
∴AO=AO’，OC=O’B
又∵∠OAO'=60°，∴△AO'O为等边三角形．
∴AO=OO'
在△BOO'中，OO'+OB>BO'
即OA+OB>OC

例2、例题讲解：
1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF‚ ②AC=CF+CD.
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；  
(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

（半角模型）
例3、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求的度数。

例4、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①∠MAN=45°；②
△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM。

例5、在正方形ABCD中，已知∠MAN=45°，若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系；②求证：AB=AH.

例6、在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD且上，满足EF=BE+DF.求证：。

例7.已知：如图1在中，，，点分别为线段上两动点，若.探究线段三条线段之间的数量关系.
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变.（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

例8．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM'，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM'的对称点C，画直线BC交OM'于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）．