选修4-4极坐标练习题.doc

极坐标系 姓名 学号 成绩
1．将点的直角坐标(－2，2)化成极坐标得( )．
A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)
2．极坐标方程 r cosq＝sin2q( r≥0)表示的曲线是( )．
A．一个圆 B．两条射线或一个圆 C．两条直线 D．一条射线或一个圆
3．极坐标方程化为普通方程是( )．
A．y2＝4(x－1) B．y2＝4(1－x) C．y2＝2(x－1) D．y2＝2(1－x)
4．点P在曲线 r cosq ＋2r sinq ＝3上，其中0≤q ≤，r＞0，则点P的轨迹是( )．
A．直线x＋2y－3＝0 B．以(3，0)为端点的射线
C． 圆(x－2)2＋y＝1 　　 D．以(1，1)，(3，0)为端点的线段
5．设点P在曲线 r sin q ＝2上，点Q在曲线 r＝－2cos q上，则|PQ|的最小值为
( )． A．2 B．1 C．3 D．0
6．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是( )．
A．直线 B．椭圆 C． 双曲线 D． 圆
7．在极坐标系中，直线，被圆 r＝3截得的弦长为( )．
A． B． C． 　 D．
8．r＝(cos q －sin q )(r＞0)的圆心极坐标为( )．
A．(－1，) B．(1，) C．(，)　 D．(1，)
9．极坐标方程为lg r＝1＋lg cos q，则曲线上的点(r，q)的轨迹是( )．
A．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆 B．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点
C．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆 D．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆
10．方程表示的曲线是( )．
A． 圆 B．椭圆 C． 双曲线 D． 抛物线
11．在极坐标系中，以(a，)为圆心，以a为半径的圆的极坐标方程为　　　　　 ．　　
12．极坐标方程 r2cos q－r＝0表示的图形是　　　　　　　　．
13．过点(，)且与极轴平行的直线的极坐标方程是　　　　　　　．
14．曲线 r＝8sin q 和 r＝－8cos q(r＞0)的交点的极坐标是　　　　　　　　．
15．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为r cos q ＝3，r＝4cos q (其中0≤q＜)，则C1，C2交点的极坐标为　　　　　　　　．
16．是圆 r＝2Rcos q上的动点，延长OP到Q，使|PQ|＝2|OP|，则Q点的轨迹方程是 ．
17．求以点A(2，0)为圆心，且经过点B(3，)的圆的极坐标方程．

18．先求出半径为a，圆心为(r0，q0)的圆的极坐标方程．再求出
(1)极点在圆周上时圆的方程；
(2)极点在周上且圆心在极轴上时圆的方程．

19．已知直线l的极坐标方程为，点P的直角坐标为(cosq，sinq)，求点P到直线l距离的最大值及最小值．

20．A，B为椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)上的两点，O为原点，且AO⊥BO．
求证：(1)为定值，并求此定值；
(2)△AOB面积的最大值为，最小值为．

参考答案
一、选择题
1．A
解析：r＝4，tan q＝，q＝．故选A．
2．D
解析：∵ r cos q＝2sin q cos q，∴cos q＝0或 r＝2sinq，r＝0时，曲线是原点；r＞0时，cos q＝0为一条射线，r＝2sinq 时为圆．故选D．
3．B　
解析：原方程化为，即，即y2＝4(1－x)．故选B．
4．D
解析：∵x＋2y＝3，即x＋2y－3＝0，又∵ 0≤q ≤，r＞0，故选D．
5． B 　
解析：两曲线化为普通方程为y＝2和(x＋1)2＋y2＝1，作图知选B．
6．D
解析：曲线化为普通方程后为，变换后为圆．
7．Ｃ　
解析：直线可化为x＋y＝，圆方程可化为x2＋y2＝9．圆心到直线距离d＝2，
∴弦长＝2＝．故选Ｃ．
8．B
解析：圆为：x2＋y2－＝0，圆心为，即，故选B．
9．B
解析：原方程化为r＝10cos q，cos q＞0．∴0≤q ＜和＜q＜2p，故选B．　　
10．C
解析：∵1＝r－rcos q＋rsin q，∴r＝rcos q－rsin q＋1，∴x2＋y2＝(x－y＋1)2，
2x－2y－2xy＋1＝0，即xy－x＋y＝，即(x＋1)(y－1)＝－，是双曲线xy＝－的平移，故选Ｃ．
二、填空题　
11．r＝2asin q．　
P
(
r
，
q

)
A
O
r
2
a
q
P
(
A
O
2
a
x
(第11题)

解析：圆的直径为2a，在圆上任取一点P(r，q)，
则∠AOP＝－q 或q－，
∵r＝2acos∠AOP，
即＝2asin q．
12．极点或垂直于极轴的直线．
(第12题)
O
x

解析：∵ r·(r cos q －1)＝0，
∴r＝0为极点，r cos q －1＝0为垂直于极轴的直线．　
13．r sin q ＝1．
解析：×．
14．(4，)．
解析：由8sin q＝－8cos q 得tan q＝－1．
＞0，
＜0.
r＞0得 q＝；
又由 r＝8sin得 r＝4．
15．．
解析：由 r cosq＝3有 r＝，＝4cosq，cos2q ＝，q ＝；
消去q 得 r2＝12，r＝2．
16．r＝6Rcos q．
解析：设Q点的坐标为(r，q)，
则P点的坐标为，代回到圆方程中得r＝2Rcos q，r＝6Rcos q．
三、解答题
17．解析：在满足互化条件下，先求出圆的普通方程，然后再化成极坐标方程．
∵A(2，0)，由余弦定理得AB2＝22＋32－2×2×3×cos＝7，
∴圆方程为(x－2)2＋y2＝7，
由得圆的极坐标方程为(rcos q－2)2＋(rsin q)2＝7，
即 r2－4r cos q －3＝0．
18．(1)解析：记极点为O，圆心为C，圆周上的动点为P(r，q)，
则有CP2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos∠COP，
即a2＝r2＋－2 r·r0·cos(q－q 0)．
当极点在圆周上时，r0＝a，方程为 r＝2acos(q－q 0)；
(2)当极点在圆周上，圆心在极轴上时，r0＝a，q 0＝0，方程为 r＝2acos q．
19．解析：直线l的方程为4＝r(cos q －sin q)，即x－y＝8．
点P(cos q ，sin q )到直线x－y＝8的距离为
，∴最大值为，最小值为．
20．解析：(1)将方程化为极坐标方程得，
设A(r1，q1)，B，
则
，为定值．
(2) S△AOB＝r1r2＝
，
当时，S△AOB最小值为，
当q 1＝0时，S△AOB最大值为．