必修一函数的单调性专题讲解(经典).doc

高一升高二个辅资料 第三课时第二次课
第一章 函数的基本性质之单调性
一、基本知识
1．定义：对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。
重点 2．证明方法和步骤：
（1） 取值：设是给定区间上任意两个值，且；
（2） 作差：；
（3） 变形：（如因式分解、配方等）；
（4） 定号：即；
（5） 根据定义下结论。
3．常见函数的单调性
时，在R上是增函数；k<0时，在R上是减函数
（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，
（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，
（3）二次函数的单调性：对函数，
当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；
当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小；
4．复合函数的单调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

增 ↗
减 ↘

增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘

增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
在函数、公共定义域内，
增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数．
5．函数的单调性的应用：
判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
例题分析
例1：证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数。

例2：证明在定义域上是增函数。

例3：证明函数f(x)=x3的单调性。

例4：讨论函数y＝在[－1,1]上的单调性．

例5：讨论函数f(x)＝的单调性．

例6：讨论函数的单调性

例7：求函数的单调区间。 习题：求函数的单调区间。

例8：设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断函数y＝[f(x)]2.的单调性

例9：若f(x)＝，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．

例10：对于任意x＞0，不等式x2+2x-a＞0恒成立，求实数a的取值范围。

例11：若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数m的值为

习题：若函数,在上是增函数，则实数m的范围为;

例12：若定义在R上的单调减函数f(x)满足，求a 的取值范围。

习题：若定义在上的单调减函数f(x)满足，求a 的取值范围。

针对性训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝－x2的单调减区间为(　　)
A．(－∞，0]　　B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
2．若函数y＝kx＋b是R上的减函数，那么(　　)
A．k<0 B．k>0 C．k≠0 D．无法确定
3．下列函数在指定区间上为单调函数的是(　　)
A．y＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．y＝，x∈(1，＋∞)
C．y＝x2，x∈R
D．y＝|x|，x∈R
4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(－1)<f(2)
C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(2)<f(－1)
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若f(x)是R上的增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1与x2的大小关系是________．
6．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则f(a2＋1)与f(a)的大小是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数f(x)＝的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．

8．定义在(－1,1)上的函数f(x)是减函数，且满足f(1－a)＜f(a)，求实数a的取值范围．

9．(10分)函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求a的取值范围．