数形结合法在函数零点问题中的应用.doc

数形结合法在函数零点问题中的应用
高三数学组 2017年3月15日
【教学目标】 函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。

【教学思想、方法】 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程
4

【考向洞察】
1、针对题型
(1) 确定零点的大致范围，多出现在选择题中；
(2) 确定零点的个数问题，多出现在选择题中；
(3) 利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。
2、解决方案
(1) 直接画出函数图像，观察图像得出结论。
(2) 不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点， 通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。

【例题讲解】
例1、设函数，则函数（ D ）
A. 在区间，内均有零点
B. 在区间，内均无零点
C. 在区间内有零点，内无零点
D. 在区间内无零点，内有零点

解1：，在单调递减，，，，由零点存在定理知，区间内无零点，内有零点。

解2：令，得，作出函数和的图象，如右图，显然在区间内无零点，内有零点。

例2、设，则的零点个数是__2____。

解：作出函数和的图象，如右图，由图可知直线与函数的图象有两个交点，所以有2个零点。

例3、已知函数，有2个零点，则实数的取值范围是_______________。
解1： 时，，则
当，单调递增；当，单调递减；而，，此时有1个零点；
时，，只有1个零点 ，则的根为0或正数，
由解得，，解得。

解2：令，得，作出和的图象
当时，恒成立，，

例4、若函数则当时，函数的零点个数为( D )
A.1 B.2 C.3 D.4

解：令，若，则则，
对于存在两个零点；
对于存在两个零点；
综上可知，函数有4个零点。

例5、设，（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
解：由得
即
令，则
，
的大致图象如右图：
方程在上有两个不同的解时可以满足题意
则解得

【归纳小结】
1、解决此类问题的关键是数形结合；
2、还应把握两类知识：
(1) 灵活构造函数；
(2) 图象的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。

【教学反思】数形结合思想是高中数学常用思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺 形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好， 隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数零点问题教学时渗透数形结合的思想，并在平时的训练中不断领悟和总结，可以促使学生在解决零点问题的能力上得到改善和提高！