对数平均数不等式链几何解释及应用.docx

对数平均数的不等式链的几何解释及应用
中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：
设则，其中被称之为对数平均数.
童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.
1 对数平均数的不等关系的几何解释
反比例函数的图象，如图所示，，轴， ,作在点处的切线分别与交于，根据左图可知，

因为，
所以 ①
又，
，
，
根据右图可知， ，所以， ②
另外，，可得：
③
综上，结合重要不等式可知：
，
即. ④
2 不等式链的应用
对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．
2.1 的应用
例1 （2014年陕西）设函数，，其中是的导函数．
（1）（2）（略）
（3）设，比较与的大小，并加以证明．
解析 （3）因为，
所以，
而，因此，比较与的大小，即只需比较与的大小即可．
根据时， ，即
令则
所以，，，
将以上各不等式左右两边相加得：，
故.
评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．
当时，，即令
则可得：.
例2 （2012年天津）已知函数的最小值为0．
（1）（2）（略）（3）证明：
解析 （3）易求，待证不等式等价于．
根据时， ，即
令则

将以上各不等式左右两边分别相加得：
，
.得证.
2.2 的应用
例3 设数列的通项，其前项的和为，证明：．
解析 根据时，，即，
令则
，易证．
2.3 的应用
例4 设数列的通项，证明：．
解析 根据时，，即，
令则，易证．
2.4 的应用
例5 （2010年湖北）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）用表示出；（2）（略）
（3）证明：
解析 （1）；
（3）当时，，即，
令则
所以，

将以上各不等式左右两边分别相加得：

即
故
例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数．
（1）若时, 求的最小值；
（2）设数列的通项，证明：．
解析 （1）易得．
令则
若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是减函数，符合题意；
综上，的最小值是．
（2) 当时，，即，
令则

所以

将以上各不等式左右两边分别相加得：

即
故．
评注 本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时，加以赋值，并进行变形，令，有，亦即达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.
2.5 的应用
例7 （2014福建预赛）已知．
（1）（略）
（2）求证：对一切正整数均成立．
解析 （2）根据时， ，即
令则
变形可得：则

将以上各不等式左右两边相加得：
对一切正整数均成立．
评注 本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时，,即，结合待证不等式的特征，
令，得，
整理得：，即,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？
对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.

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