圆的参数方程练习题有答案.doc

圆的参数方程
1.已知曲线C的参数方程为，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A(2，0)，B是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．
解：将点A(2，0)的坐标代入，得
由于0≤θ<2π，
解得θ＝0，所以点A(2，0)在曲线C上，对应θ＝0.
将点B的坐标代入，
得
即
由于0≤θ<2π，
解得θ＝，
所以点B在曲线C上，对应θ＝.
2.已知曲线C的参数方程是，(t为参数)．
(1)判断点M1(0，－1)和M2(4，10)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．
[思路点拨]　(1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在．
(2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．
[解]　(1)把点M1(0，－1)的坐标代入参数方程得，∴t＝0.
即点M1(0，－1)在曲线C上．
把点M2(4，10)的坐标代入参数方程得，方程组无解．
即点M2(4，10)不在曲线C上．
(2)∵点M(2，a)在曲线C上，
∴
∴t＝1，a＝3×12－1＝2.
即a的值为2.
3.已知曲线C的参数方程为，(t为参数)．
①判断点A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线C的位置关系；
②若点F(10，a)在曲线C上，求实数a的值．
解：①把点A(1，0)的坐标代入方程组，解得t＝0，
所以点A(1，0)在曲线上．
把点B(5，4)的坐标代入方程组，解得t＝2，
所以点B(5，4)也在曲线上．
把点E(3，2)的坐标代入方程组，得到即
故t不存在，所以点E不在曲线上．
②令10＝t2＋1，解得t＝±3，故a＝2t＝±6.
4.(1)曲线C：，(t为参数)与y轴的交点坐标是____________．
解析：令x＝0，即t＝0得y＝－2，∴曲线C与y轴交点坐标是(0，－2)．
答案：(0，－2)
(2)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，(t为参数)与曲线C2：，(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴，则a＝________．
解析：由y＝0知1－2t＝0，t＝，所以x＝t＋1＝＋1＝.令3cos θ＝0，则θ＝＋kπ(k∈Z)，sin θ＝±1，
所以＝±a.又a>0，所以a＝.
答案：
5.已知某条曲线C的参数方程为，(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．
解析：∵点M(5，4)在曲线C上，
∴，解得∴a的值为1.
答案：1

6.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的一个参数方程为____________．
解析：令＝cos θ，＝sin θ得(θ为参数)．
答案：(θ为参数)(注本题答案不唯一)
7.已知圆的普通方程x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它的参数方程为____________．
解析：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，所以参数方程为，(θ为参数)．
答案：，(θ为参数)(注答案不唯一)
8.圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为(　　)
A.，(θ为参数)
B.，(θ为参数)
C.，(θ为参数)
D.，(θ为参数)
解析：选B.∵圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为，(θ为参数)
∴圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为，(θ为参数)
9.已知圆的方程为x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是____________．
解析：将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，∴它的一个参数方程为(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
10.已知圆P：，(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是(　　)
A．P(1，3)，r＝10　　　　 B．P(1，3)，r＝
C．P(1，－3)，r＝ D．P(1，－3)，r＝10
解析：选C.由圆P的参数方程可知圆心P(1，－3)，半径r＝.

11.圆的参数方程为，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为(　　)
A．(0，2)　　　　　　　　 B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(2，0)
解析：选D.由得(x－2)2＋y2＝4，其圆心为(2，0)，半径r＝2.
12.直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是(　　)
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
解析：选D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<2，故选D.
13.已知圆C：，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin ＝－1，当θ＝时，x＝－3＋2sin ＝－5，故|AB|＝|－1＋5|＝4.
答案：4

14.已知动圆x2＋y2－2xcos θ－2ysin θ＝0.求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2xcos θ－2ysin θ＝0得：
(x－cosθ)2＋(y－sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ，
∴这就是所求的轨迹方程．

15.P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6，0)，M是PQ中点，
(1)画图并写出⊙O的参数方程；
(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解：(1)如图所示，

⊙O的参数方程
(2)设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因Q(6，0)，
∴M的参数方程为
即
16.已知点P(2，0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设Q(cos θ，sin θ)，PQ中点M(x，y)，则由中点坐标公式得x＝＝cos θ＋1，y＝＝sin θ.
∴所求轨迹的参数方程为(θ为参数)
消去θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝，
它表示以(1，0)为圆心、半径为的圆．
17.设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是____________．
解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．
则即为所求．
答案：
18.已知P是曲线，(α为参数)上任意一点，则(x－1)2＋(y＋1)2的最大值为________．
解析：将代入(x－1)2＋(y＋1)2得(1＋cos α)2＋(1＋sin α)2＝2sin α＋2cos α＋3＝
2sin＋3，
∴当sin＝1时有最大值为3＋2.
答案：3＋2
19.已知点P(x，y)在曲线C：，(θ为参数)上，则x－2y的最大值为(　　)
A．2 B．－2
C．1＋ D．1－
解析：选C.由题意，得
所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)
＝1－
＝1－sin，
所以x－2y的最大值为1＋.
20.已知曲线C的参数方程为，(θ为参数)，求曲线C上的点到直线l：x－y＋1＝0的距离的最大值．
解：点C(1＋cos θ，sin θ)到直线l的距离
d＝
＝
＝≤＝＋1，
即曲线C上的点到直线l的最大距离为＋1.

21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
22.若P(x，y)是曲线，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)
A．36　　　　　　　　 B．6
C．26 D．25
解析：选A.依题意P(2＋cos α，sin α)，
∴(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝，sin φ＝)
∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.
23.已知点P，Q是圆，(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最大值是________．
解析：由题意，设点Q(cos θ，sin θ)，
则|PQ|＝

＝
＝
故|PQ|max＝＝2.
答案：2
24.已知曲线方程，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．
解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，
则|PA|＝
＝，
故|PA|min＝＝2－1.
答案：2－1
25.已知圆C，与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解：法一：∵消去θ，得x2＋(y＋1)2＝1.
∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1.
∴圆心到直线的距离d＝≤1.
解得1－≤a≤1＋.
法二：将圆C的方程代入直线方程，
得cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin.
∵－1≤sin≤1，∴1－≤a≤1＋.

26.设P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．
①求2x＋y的取值范围；
②若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
解：圆的参数方程为，(θ为参数)．
①2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(φ由tan φ＝2确定)，∴1－≤2x＋y≤1＋.
②若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R成立．
且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－sin－1的最大值是－1，则当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
27.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
[解]　(1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，
得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
∴圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，3分
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为，(α为参数)6分
(2)由(1)知x＋y＝4＋(cos α＋sin α)
＝4＋2sin，9分
又－1≤sin≤1，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.12分
28.圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
解：如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．

圆的参数方程为(θ为参数)．易知点C(－1，0)，D(1，0)．
因为点P在圆上，所以可设P(5cos θ，5sin θ)．
所以|PC|＋|PD|
＝＋
＝＋
＝
＝.
当cos θ＝0时，|PC|＋|PD|有最大值为2.
29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.