课时达标检测(十四)变化率与导数、导数计算.doc

课时达标检测（十四） 变化率与导数、导数的计算
[练基础小题——强化运算能力]
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C　∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
2．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选C　∵y＝sin x＋ex，
∴y′＝cos x＋ex，
∴y′＝cos 0＋e0＝2，
∴曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
3．(2016·安庆二模)给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M(　　)
A．在直线y＝－3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上
解析：选B　f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，由题可知f″(x0)＝0，即4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.
4．(2016·贵阳一模)曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
解析：选D　y′＝ex＋xex，则y′|x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－＝－，∴＝，故选D.
5．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－ex图象的切线，则实数a＝________.
解析：设切点为(x0，y0)．f ′(x)＝－ex，则f ′(x0)＝－·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.
答案：e2
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C　由题可知，f(π)＝－，f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，则f(π)＋f′＝－＋×(－1)＝－.
2．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)
A．－1 B. C．－2 D．2
解析：选A　∵y′＝，∴y′x＝＝－1，由条件知＝－1，∴a＝－1.
3．(2017·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
解析：选B　由题可得，y′＝2x－.因为y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，所以由2x－＝1，得x＝1，则P点坐标为(1,1)，所以曲线在点P处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝，即点P到直线y＝x－2距离的最小值为.
4．(2016·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为(　　)
A.∪ B.
C.∪ D.
解析：选C　因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.
5．(2017·重庆诊断)已知函数f(x)＝＋sin x，其导函数为f′(x)，则f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 017)－f′(－2 017)的值为(　　)
A．0 B．2 C．2 017 D．－2 017
解析：选B　∵f(x)＝＋sin x，∴f′(x)＝－＋cos x，f(x)＋f(－x)＝＋sin x＋＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－＋cos x＋－cos(－x)＝0，∴f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2.
6．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
解析：选D　∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，于是解得m＝－2.
二、填空题
7．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2x·f′(2)，则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题意得f′(x)＝2x＋2f′(2)，则f′(2)＝4＋2f′(2)，所以f′(2)＝－4，所以f(x)＝x2－8x.
答案：f(x)＝x2－8x
8．若直线l与幂函数y＝xn的图象相切于点A(2,8)，则直线l的方程为________．
解析：由题意知，A(2,8)在y＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴y′＝3x2，直线l的斜率k＝3×22＝12，又直线l过点(2,8)．∴y－8＝12(x－2)，即直线l的方程为12x－y－16＝0.
答案：12x－y－16＝0
9．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x>0)，故a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________．(用“<”连接)
解析：(1)依题意，f′(x)＝x，g′(x)＝x2，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝x，g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，
故a＝，b＝0，d＝，e＝m＝0，f(x)＝x2＋c，
g(x)＝x3＋n，由f(1)＝1得c＝，
则f(x)＝x2＋，故f(－1)＝1.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋c－n，
则有h(－1)＝＋c－n，h(0)＝c－n，h(1)＝＋c－n，
故h(0)<h(1)<h(－1)．
答案：(1)1　(2)h(0)<h(1)<h(－1)
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
12．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值．
解：对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，
对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，
设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，
由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直．
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，①
又点(x0，y0)在C1与C2上，
故有
即2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.②
由①②消去x0，可得a＋b＝.