实验2-行列式与方程组的求解.doc

实验2-行列式与方程组的求解 作者： 日期：10 个人收集整理 勿做商业用途2 行列式与方程组的求解1. 求行列式的命令；2. 求矩阵秩的命令;3. 求矩阵的最简行矩阵的命令;4. 满秩线性方程组的各种方法；5. 符号变量的应用；6. 验证与行列式相关的公式和定理。例2。1 已知非齐次线性方程组：，要求用下列方法求解该方程组。(1)求逆矩阵法；（2）矩阵左除法；(3）初等行变换；（4）克莱姆法则. 解:（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：，则,直接在MATLAB的命令窗口输入： A=6，2，3，4，5;2,-3，7,10，13;3，5，11,16，21；2，-7,7,7,2；7,3,5，3，10; b=80;59;90;22;85； x=inv（A)*b 或：x=A1*b计算结果为:x = 9。0000 3.0000 2.0000 1。0000 2.0000（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，Matlab软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，针对方程组的矩阵形式,可用左除法等式两端同时左除A，得到:“”，即针对矩阵方程,，可用右除法，等式两端同时右除A,，即在MATLAB命令窗口中输入： A=6,2,3,4，5；2，3,7，10,13;3,5,11,-16,21;2,7，7,7,2;7，3,-5，3，10; b=80；59；90;22;85； x=Ab 符号“”即为左除运算，注意它的方向.结果为：x = 9.0000 3。0000 2。0000 1.00002。0000（3)用初等行变换,把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，从而得到方程组的解.在MATLAB命令窗口中输入：A=6，2,3，4,5;2,-3，7，10，13;3,5，11，16,21；2,-7,7,7，2；7,3，-5,3,10； b=80;59；90;22；85; U=rref（A,b)运算结果为：U = 1 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2（4）根据克莱姆法则,有：，其中是方程组的系数行列式，是用常数列向量b代替系数行列式的第i列所得到的行列式。用Matlab的M文件编辑器，编写la01。m文件如下：% 用克莱姆法则求解方程组clear 清除变量n=input(方程个数n） % 请用户输入方程个数A=input（系数矩阵A=) % 请用户输入方程组的系数矩阵b=input(常数列向量b=） % 请用户输入常数列向量if (size(A）=n，n） (size(b）=n,1) % 判断矩阵A和向量b输入格式是否正确disp（输入不正确,要求A是n阶方阵，b是n维列向量） disp：显示字符串elseif det(A)=0 % 判断系数行列式是否为零 disp（系数行列式为零,不能用克莱姆法则解此方程.）else for i=1：n 计算x1,x2,.。xn B=A; % 构造与A相等的矩阵B B(:，i）=b； 用列向量b替代矩阵B中的第i列 x(i)=det（B）/det（A）； 根据克莱姆法则计算x1，x2,。.。xn end x=x % 以列向量形式显示方程组的解end在MATLAB命令窗口中输入：la01得到以下人机对话结果：方程个数n5n = 5系数矩阵A=6,2，3，4，5；2，3，7，10，13；3，5，11，16，21；2，-7,7，7，2;7,3，-5,3,10A = 6 2 3 4 5 2 3 7 10 13 3 5 11 -16 21 2 7 7 7 2 7 3 5 3 10常数列向量b=80；59；90;22；85b = 80 59 90 22 85x = 9 3 2 1 2例2。2求矩阵的逆,要求用以下方法：(1）矩阵左除和右除运算；（2）初等行变换;(3）利用伴随矩阵求逆的公式。解:在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la02.m： 逆矩阵各种求法：clearA=7,2，-6，4，6;1，3，-6,3,11;3,-11，9,5，2；3,0，-2,9,-3；7,30,-18,11,4; 1。命令法：An1=inv(A） 2.幂运算法：An2=A-1% 3。右除法：An3=eye(5)/A eye（5)为5阶单位矩阵% 4。左除法：An4=Aeye(5)% 5.初等行变换法:B=rref(A，eye（5)； 对矩阵A ， I 进行初等行变换 B为矩阵A的最简行阶梯矩阵if(rank（B(：，1:5）=5) % 判断最简行阶梯矩阵B的前5列是否为单位阵An5=B（：,6：10） % 取出矩阵的后5列，并显示elsedisp（A不可逆);end% 6.伴随矩阵求逆法：for i=1:5 构造伴随矩阵的55个元素 for j=1：5 T=A; % 把矩阵A赋给矩阵T T（i,:)=； 删去矩阵T的第i行 T（：,j)=； % 删去矩阵T的第j列 此时，|T| 为矩阵A元素aij的余子式 AA(j,i）=(-1)(i+j)*det(T); % 算出aij的代数余子式 并放入矩阵AA的第j行、第i列% 当循环结束，矩阵AA即为A的伴随矩阵 endendif det（A)=0An6=AA/det(A)elsedisp(A不可逆);end运算程序la02，前四个方法计算结果相同: 1.0e+004 -1.5895 1。3448 1。0646 1。6206 0。6308 1.6298 1.3789 1。0916 -1。6617 0。6468 2。5392 -2.1483 1。7007 -2。5889 1.0077 0。3631 0.3072 0。2432 -0.3702 0.1441 0。9860 -0.8342 0.6604 1。0053 0。3913后两个方法计算结果相同： -15895 13448 -10646 16206 6308 16298 -13789 10916 16617 6468 25392 21483 17007 -25889 10077 3631 3072 2432 -3702 1441 9860 -8342 6604 -10053 3913从计算结果可以发现，前四个方法得到的是实数矩阵，而后两个方法得到的是整数矩阵。如果在Matlab环境下，键入：format long然后再重新运行该程序，会发现前四个方法的运算结果存在误差,这是计算机做数值运算时,存在舍入误差的原因。为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差,现在用上述六种方法来计算矩阵的逆，A=1,2，3;10,10，10；11，12，13前四种方法得到以下类似结果:Warning： Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.135044e-018。ans = 1.0e+015 4。5036 4。5036 4。5036 9.0072 9.0072 9。0072 -4.5036 4.5036 4.5036显然此结果是不正确的,因为A不可逆。例2.3 解方程：。解：Matlab软件定义了“符号变量”的概念.在MATLAB的M文件编辑器中，应用“符号变量”编写程序la03.m：% 求解符号行列式方程clear all % 清除各种变量syms x % 定义x为符号变量A=3，2,1,1；3，2，2x2,1；5，1，3，2；7x2，1,3，2 给矩阵A赋值D=det（A） % 计算含符号变量矩阵A的行列式Df=factor（D） 对行列式D进行因式分解 从因式分解的结果，可以看出方程的解X=solve（D) % 求方程“D0”的解在MATLAB的命令窗口输入：la03运行结果为：A = 3, 2, 1， 1 3, 2, 2-x2， 1 5, 1， 3， 2 7x2, 1， 3, 2D =-6+9x23x4f =-3(x1)*(x+1）(x22)X = 1 1 2(1/2) -2（1/2）例2。4 请用Matlab软件验证行列式按行（列）展开公式：解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la04.m:% 验证行列式按行（列）展开公式clearA=round（10*randn（5）; % 构造5阶随机数方阵D=det(A); 计算矩阵A的行列式 矩阵A按第一行元素展开:s=a11*A11+a12*A12+a15*A15s=0；for i=1：5 T=A; T(1，：）=； 删去阵矩第1行 T（：，i)=； % 删去矩阵第i列 % 此时，|T 为矩阵A元素a1i的余子式 s=s+A（1,i)*（-1)(1+i)*det（T)；ende=Ds % 验算D与s是否相等在MATLAB的命令窗口中输入：la04计算结果为：e = 0在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la05。m：% 计算5阶方阵A的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和: s=a11*A31+a12A32+a15*A35clearA=round（10randn（5)）； 构造5阶随机数方阵s=0；for i=1：5 T=A； T（3，：）=; % 删去矩阵第3行 T(:,i）=； % 删去矩阵第i列 此时，|T 为矩阵A元素a3i的余子式 s=s+A(1，i）(-1）（3+i)det（T）;ends 验算s是否为0在MATLAB命令窗口中输入：la05计算结果为：s = 0例2。5 计算行列式的值。解 在MATLAB编辑器中建立M文件：syms a b c d A=1 1 1 1;a b c d;a2 b2 c2 d2;a4 b4 c4 d4;d1=det(A)d2=simple(d1) 用 simple函数化简表达式d1pretty（d2） 用pretty函数使表达式d2符合人们的书写习惯。则结果显示为：d1 =b*c2*d4-b*d2*c4-b2cd4+b2*d*c4+b4*c*d2b4*dc2-a*c2*d4+a*d2*c4+a*b2d4-a*b2c4ab4d2+ab4c2+a2c*d4-a2*dc4-a2b*d4+a2*b*c4+a2b4*da2b4ca4cd2+a4dc2+a4bd2a4*b*c2a4*b2*d+a4b2cd2 =（d+c）*（b-d)(b-c）（d+a)（a-c）（a-b）*（a+c+d+b) （-d + c） （b - d） （b - c） （d + a) （a - c) （a b） (a + c + d + b)