专题：反比例函数和相似综合.doc

中考数学专题复习：反比例函数与相似的综合题
【考点分析】
近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式，进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。
【专题攻略】
在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。这类题在解答时要求我们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。

【课前训练】
1、如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则= .
2、如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若S△AOB＝3，则=____

第1题 第2题 第3、4题
3、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBA的面积为6，则k＝____________．
4、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．

【典型例题】（2010年广州中考第23题）
已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，
与x轴交于点C， 且AB＝2BC，求点C的坐标．

【变式训练】
（2014南沙区一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x 轴、y轴分别相交于C、D两点．
（1）若点A的横坐标为1，求m的值并利用函数图象求关于x的不等式的解集；

第23题

（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，
请说明理由．

【巩固提高】
1、 （2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，
∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别
与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，
点E的坐标为　 　．

2、（2013 绵阳）如图，已知矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，
证明△EGD∽△DCF，并求k的值。

解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是
AB的中点，AE=2，OA=2，，
点E（2，2）在双曲线y=上，
k=2×2=4 ,点F在直线BC及双
曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1,
所以点F的坐标为（4，1）.
(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，
∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上，
∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，
∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED，
△EGD∽△DCF；
② 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4,
ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,
DC===2,
△EGD∽△DCF,= ,= ,b= ,
有点F（4，），k = 4×= 3.

3、如图,直线分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且.
(1) 求证:△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
C
A
O
B
T
R
P
x
y
第27题图

（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB的右侧,作RT⊥x轴于T,当△BRT与△AOC相似时,求点R的坐标.

解（1）

△AOC∽△ABP
(2)

△AOC∽△ABP

(3)
①当△BRT∽△ACO时,

即

②当△BRT∽△CAO时,

即

综合①、②所述，
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