必修五正余弦定理习题练习.doc

必修五正余弦定理习题练习

一．选择题（共5小题）
1．（2015•秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）
A． B． C． D．
2．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（　　）
A． B． C． D．或
5．（2014•新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（　　）
A．5 B． C．2 D．1

二．填空题（共6小题）
6．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______．
7．（2015•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______．
8．（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______．
9．（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．
10．（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．
11．（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．

三．解答题（共1小题）
12．（2015•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

必修五正余弦定理习题练习
参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）
1．（2015•秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．

2．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，
∴bcsinA=bc=，
∴bc=3，①
又a=2，A是锐角，
∴cosA==，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，
∴b+c=2②
由①②得：，
解得b=c=．
故选A．

3．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，
∴sinBcosB=sinAcosA
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
即有△ABC为等腰或直角三角形．
故选C．

4．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（　　）
A． B． C． D．或
【解答】解：由正弦定理可得：sinA===
∵a=＜b=
∴
∴∠A=，
故选：B．

5．（2014•新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（　　）
A．5 B． C．2 D．1
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，
∴S=acsinB=，即sinB=，
当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，
当B为锐角时，cosB==，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=．
故选：B．

二．填空题（共6小题）
6．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为　8　．
【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．
∵S△ABC==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．

7．（2015•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=　4　．
【解答】解：∵3sinA=2sinB，
∴由正弦定理可得：3a=2b，
∵a=2，
∴可解得b=3，
又∵cosC=﹣，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，
∴解得：c=4．
故答案为：4．

8．（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=　1　．
【解答】解：∵sinB=，
∴B=或B=
当B=时，a=，C=，A=，
由正弦定理可得，
则b=1
当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1

9．（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．

10．（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=　2　．
【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，
由正弦定理可得，
=，
即有AC==2．
故答案为：2．

11．（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为　　．

【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD=．
故答案为：

三．解答题（共1小题）
12．（2015•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．

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