三角形总复习(含答案).pdf

-1-三角形复习三角形复习【知识精读知识精读】1.三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2.三角形中三边之间的关系定理及其推论；3.全等三角形的性质与判定；4.特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5.直角三角形的性质与判定。三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。【分类解析分类解析】1.三角形内角和定理的应用三角形内角和定理的应用 例 1.如图 1，已知中，于 D，E 是 AD 上一点。ABCBACAD BC90，求证：BEDCABDCE图1-2-证明：证明：由 ADBC 于 D，可得CADABC 又 ABDABEEBD 则ABDEBD 可证CADEBD 即BEDC 说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于 180间接求得。2.三角形三边关系的应用三角形三边关系的应用 例 2.已知：如图 2，在中，AM 是 BC 边的中线。ABCABAC 求证：AMABAC12CAMBD图2 证明：证明：延长 AM 到 D，使 MDAM，连接 BD 在和中，CMABMDAMDMAMCDMBCMBM，CMABMDBDAC 在中，而ABDABBDADADAM 2 ABACAMAMABAC212-3-说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中2AMABAC线的方法，相当于将绕点旋转 180构成旋转型的全等三角形，把 AC、AB、2AMAMC转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。1212ABACAMABAC 3.角平分线定理的应用角平分线定理的应用 例 3.如图 3，BC90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC。求证：AM 平分 DAB。DABMGC图3 证明：证明：过 M 作 MGAD 于 G，DM 平分ADC，MCDC，MGAD MCMG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等）MCMB，MGMB 而 MGAD，MBAB M 在ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）DM 平分ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MGMB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。4.全等三角形的应用全等三角形的应用 （1）构造全等三角形解决问题-4-例 4.已知如图 4，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角（BDC）为120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的角，它的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于N，连结 MN。求证：的周长等于 2。AMNDMCNAMB图4 分析：分析：欲证的周长等于 2，需证明它等于等边的两边的长，只需证AMNABC。采用旋转构造全等的方法来解决。MNBMCN 证明：以点 D 为旋转中心，将顺时针旋转 120，点 B 落在点 C 的位置，点DBMM 落在 M点的位置。得：MBDNCD90 Rt MBDRt M CDDCMDBM90 NCD 与DCM构成平角，且BMCM，DMDM，NDMNDCCDMNDCBDM1206060 在和中，MDNM DN DMDMMDNM DNDNDN，60 MDNM DN SASMNM NM NM CCNBMCNMNBMCN()的周长AMNAMANMNAMANBMCNABAC2-5-说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。（2）“全等三角形”在综合题中的应用 例 5.如图 5，已知：点 C 是FAE 的平分线 AC 上一点，CEAE，CFAF，E、F 为垂足。点 B 在 AE 的延长线上，点 D 在 AF 上。若 AB21，AD9，BCDC10。求AC 的长。CFDAEB图5 分析：分析：要求 AC 的长，需在直角三角形 ACE 中知 AE、CE 的长，而 AE、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出 AE、CE 的长，使问题得以解决。解：解：AC 平分FAE，CFAF，CEAE CFCE CFCEFCEAACACACFACE HLAFAECFCECDBCFCEBCDFCBE HL9090()()BEDF-6-设，则BEDFxAEABBExAFADDFx219，AEAFxxx，2196 在中，Rt BCECEBCBE22221068 在中，Rt ACEACAECE2222216817 答：答：AC 的长为 17。5、中考点拨、中考点拨 例 1.如图，在中，已知B 和C 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DEBC，交 ABABC于点 D，交 AC 于点 E，若 BDCE9，则线段 DE 的长为（）A.9B.8C.7D.6ABCEDF 分析：分析：初看此题，看到 DEDFFE 后，就想把 DF 和 FE 的长逐个求出后再相加得DE，但由于 DF 与 FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BDCE9”，就应想一想，DFFE 是否与 BDCE 相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出 DFFE 也就是 DE 的长了。解：解：BF 是B 的平分线 DBFCBF-7-又 DEBC DFBCBF BDFDFB DFBD 同理，FECE DFFEBDCE9 即 DE9 故选 A6、题型展示、题型展示 例 1.已知：如图 6，中，ABAC，ACB90，D 是 AC 上一点，AE 垂直ABCBD 的延长线于 E，。AEBD12 求证：BD 平分ABCABFCED图6 分析：分析：要证ABDCBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。简证：简证：延长 AE 交 BC 的延长线于 F 易证（ASA 或 AAS）ACFBCD-8-AFBDAEBDAEAFEF1212 于是又不难证得BAEBFE SAS()ABDCBD BD 平分BAC 说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。例 2.某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图 7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件 PBAB 的一棵树 P，现要在花坛内装一喷水管 D，点 D 的位置必须满足条件 ADBD，DBPDBC，才能使花坛内全部位置及树 P 均能得到水管 D 的喷水，问BPD 为多少度时，才能达到上述要求？CBPAD图7 分析：分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图 7，D 为正内一点，P 为正外一点，ABCABCPBAB，ADBD，DBPDBC，求BPD？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。解：解：连 CD-9-BPABBCDBPDBCBDBDPBDCBD SASBPDBCD()又ACBCADBDCDCD ACDBCD SSSACDBCD()30，即时，才能达到要求。BPD30BPD 30【实战模拟实战模拟】1.填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm，则这个等腰三角形底边的长为_。2.在锐角中，高 AD 和 BE 交于 H 点，且 BHAC，则ABC_。ABC 3.如图所示，D 是的ACB 的外角平分线与 BA 的延长线的交点。试比较ABCBAC 与B 的大小关系。DADCE12-10-4.如图所示，ABAC，BAC90，M 是 AC 中点，AEBM。求证：AMBCMDBDCAEM 5.设三个正数 a、b、c 满足，求证：a、b、c 一定是abcabc22224442某个三角形三边的长。-11-【试题答案试题答案】1.5cm 2.45 3.分析：分析：如图所示，BAC 是的外角，所以ACD BAC1 因为12，所以BAC2 又因为2 是的外角，所以2B，问题得证。BCD 答：答：BACB CD 平分ACE，12 BAC1，BAC2 2B，BACB 4.证明一：证明一：过点 C 作 CFAC 交 AD 的延长线于 FAMECBDF4312 129012BAEBAE 又BACACF90 ACAB ABMCAFAMCFFAMB，又 AMMC，MCCF 又3445，CDCD-12-CDMCDF FCMDAMBCMD 证明二：证明二：过点 A 作 AN 平分BAC 交 BM 于 NAMCBD1EN23 239023BAEBAE 又 AN 平分BAC 145C 又 ABAC ABNCADANCD 又NAMC45 AMCM NAMDCMAMBCMD 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。5.证明：证明：由已知得：-13-abca bb cc aabc444222222444222222 即abca bb cc a4442222222220 aba bc ab cca babcabca b4422222242222222242222240240 abcababcababcababcabcabc abc abc abcabcabc abc abcabc bca cab2222222222222222022000000 是某一三角形三边的长。abc、