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复合函数（讲义）
Ø 知识点睛
1. 复合函数定义
若函数，，则称函数为复合
函数，其中为外层函数，g(x)为内层函数，u是中间变量．
2. 复合函数定义域的求法
①若y=的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；
②若的定义域为[a，b]，则函数y=的定义域即为x∈[a，b]时g(x)的取值范围．
注：同一对应法则f下的范围相同，即f (u)、f (g(x))、f (h(x))三个函数中，u，g(x)，f (x)的范围相同．
3. 复合函数的单调性
口诀：同增异减．
已知函数，则求其单调区间的一般步骤如下：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成：，；
（3）分别确定这两个函数的单调区间．
4. 复合函数的奇偶性
口诀：有偶则偶，全奇为奇．即：
f (x)
g (x)
f (g(x))
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
Ø 精讲精练
1. （1）设函数f (x)=2x+3，g(x)=3x-5，则f (g(x))=____________，g(f (x))=____________；
（2）已知，则_________．
2. （1）设函数f (x)的定义域为，则函数的定义域为____________，函数的定义域为____________；
（2）若函数f (x+1)的定义域为，则函数f (2x-1)的定义域为___________，函数的定义域为___________；
（3）若函数的定义域为，则的定义域为____________；
（4）设，则的定义域为______．
3. 求函数的值域：
（1）；____________．
（2），；____________．
（3），；____________．
4. 已知函数，当时有最小值，则a的值为____________．
5. 如果函数（a>0，且a≠1）在[-1，1]上有最大值14，则a的值为____________．
6. 设，，函数有最大值，则不等式的解集为____________．
7. 若函数在上是减函数，则的单调递增区间是____________．
8. 直接写出下列函数的单调区间：
（1）函数的递增区间是____________；
（2）函数的单调递减区间是_________；
（3）函数的单调递减区间是____________；
（4）函数的单调减区间是______．
9. 求下列函数的单调区间：
（1）函数的递减区间是____________；
（2）函数的递减区间是____________；
（3）函数的单调递增区间是________；
（4）函数的单调递增区间是_______．
10. 已知f (x)＝loga|x－1|在(0，1)上递减，那么f (x)在(1，+∞)上（ ）
A．递增无最大值 B．递减无最小值
C．递增有最大值 D．递减有最小值
11. 已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是____________．
12. 若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是____________．
13. 是否存在实数a，使函数f (x)=在区间上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值，如果不存在，请说明理由．
【参考答案】
1. （1）6x-7；6x+4；（2）x2+2x+3
2. （1）[-1，1]；[4，9]；（2）；；
（3）；（4）(-4，-1)∪(1，4)
3. （1）(-∞，-2)；（2）；（3）
4. 16
5. 或3
6. (2，3)
7. (1，+∞)
8. （1）(-∞，3)；（2）(-∞，-1)；
（3）(-∞，-2)；（4）
9. （1）(-∞，-2)，(-2，+∞)；（2）(-2，2)；
（3）(-1，1)；（4）
10. A
11. (1，2]
12. (-8，-6]
13. a＞1

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