浅谈发展数学思维的学习方法.doc

大庆师范学院本科毕业论文大庆师范学院本科生毕业论文浅谈发展数学思维的学习方法学 院 教师教育学院 专 业 数学与应用数学 研 究 方 向 数学教育 学 生 姓 名 学 号 指导教师姓名 指导教师职称 教授 2015年5月15日大庆师范学院本科毕业论文摘 要数学的学习是离不开理解的，数学中的概念、公式、定理等知识都需要去理解，而通过对这些基础知识的深入思考才可以获得一种内在的思维，这就是数学思维.了解数学思维的含义、地位、分类及特征才能理解数学思维的重要性，数学思维的发展可以促进数学的学习，提高个体学习能力，达到融会贯通.所以数学思维的发展就成为了重要任务，通过探索发展数学思维的学习方法，对知识结构进行深刻认识与思考，可以提高运用数学知识解决问题的能力.关键词：数学思维；逻辑推理；质疑；猜想；学习方法 IAbstract Mathematics learning is inseparable from the understanding and thinking, basic knowledge of mathematics concept, formula, theorem need is to understand, through deep thinking on the basis of knowledge before they can get a kind of inherent mathematical thinking, this is the mathematical thinking. The meaning of understanding mathematics thinking, status, classification and characteristics to understand the importance of mathematical thinking and mathematical thinking development can promote mathematics learning, improve the individual learning ability, achieve mastery. So the development of mathematical thinking became the important task, by exploring the development of mathematical thinking, learning methods, the knowledge structure of profound understanding and thinking, can improve the ability to use mathematical knowledge to solve the question. Keywords: mathematical thinking；logical reasoning；questioning；conjecture；learning methodII目 录第一章 数学思维11.1 数学思维的含义11.2 数学思维的分类11.3 数学思维的特征11.4 数学思维的产生11.5 数学思维的地位21.6 发展数学思维的必要性2第二章 发展数学思维的教学原则 32.1 知识发生中渗透数学思维32.1.1不简单下定义32.1.2定理公式不过早给结论3 2.2解决问题中激活数学思维3 2.3总结归纳中概括数学思维4第三章 发展数学思维的学习方法43.1 非常规解法53.2 逆向思维53.3 辩证思考63.4 敢于质疑63.5 逻辑推理73.6 类比联想73.7 合理猜想8第四章 总结9参考文献10III第一章 数学思维1.1 数学思维的含义 数学思维是人类思维中的一种形式.一般地说，数学思维就是数学活动中的思维.更准确地说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律作出的间接概括的反映.1.2 数学思维的分类 数学思维在不同的领域中有不同的运用，其表现形式也有所不同，因此数学思维方法可以做以下几种形式的分类.按照数学思维方法的使用范围的不同，可以分为宏观思维方法和微观思维方法；按照逻辑形式的不同，可以将其分为逻辑思维和非逻辑思维；按照解决问题方式不同，可以将其分为程式化思维和发现性思维；按照数学教育的阶段或领域不同可以分为代数思维、集合对应思维等不同的思维.1.3 数学思维的特征 数学思维的特征主要是表现在高度的抽象性、形式化的严谨性、表达方式的多样性.数学思维的高度抽象性说明在思维的过程中，将思维的对象化作一定的数量关系或逻辑关系，然后再把这些特殊的数学关系总结成为一般的数学符号形式；数学思维的形式化的严谨性在于在数学思维的过程中不能介于对错之间，需要严谨精确，不能出现丝毫差错；数学思维的表达方式的多样性表现在数学问题的解决过程中，包括猜想、推理、直觉等思维形式，这种多样性也不仅仅表现在数学问题中，也存在于人类的思维活动中.1.4 数学思维的产生 波利亚的“问题解决”启发法在西方数学教育界十分盛行.在中国的数学教育界，人们认识到数学方法论的教学，如果只注重方法的学习很可能会变成一种新的技能方法的形式化教育.为此，一些学者认为，数学方法的学习应强调数学教育中积极的思维远远超过记忆和掌握一种具体方法.由此，数学思维作为一种在数学方法论之后的数学教育形式就逐渐地形成了一种教学体系.1.5 数学思维的地位数学思维是一种特殊的思维，在思维科学中有着极其重要的地位，而数学思维在数学课堂中更是处于核心地位.教学中无时无刻不是引导学生进行思维的活动，对于人脑的潜能开发和学生的综合素质的发展发挥着十分重要的作用. 1.6 发展数学思维的必要性 数学的学习绝对不是靠对公式、定理的死记硬背，通过教育体系的不断完善，对数学学习的要求也越来越高，需要学生将所学的知识进行融会贯通.在过去的教学中学生和老师都经常会忽略对数学思维的培养，这无疑是错误的.在学习数学的过程中，坚持探索与思考有助于思维能力的锻炼和提高.若数学中只能记住公式和定理，不能活学活用也是没有用的.提高数学思维，可以提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，达到事半功倍，优化学习的效果.11大庆师范学院本科毕业论文 第二章 如何发展数学思维2.1 知识发生中渗透数学思维2.1.1不简单下定义数学概念是数学思维的基础，因此在数学教学中不能直接地给出概念，而是要引导学生自主学习、发现概念形成的过程，并且体会其中涵盖的数学思想.初中很多的概念是教师直接给出，学生很难理解其概念的深刻意义，认知停留在知识的表面，因此需要设计出能将概念和问题之间的矛盾解决的实例，让学生明白一个概念它产生的合理性和必要性.例如正负数的学习，利用温度计导入负数的概念，“今天的最高温度是零上23 度，最低温度为零下8度，考虑这一天的温差是多少”，这样不仅能自然的导出负数的概念，还能引出负数的表达形式以及有关负数的运算，从而解决实际问题，达到知识与思想的统一. 2.1.2公式定理不过早给结论公式、定理同样要让学生参与推导，证明的过程，让学生了解每一步之间的逻辑关系，如学习两点之间线段最短，完全可以由学生自主学习，进行小组谈论；或者组织小游戏由学生去实际验证.列举实际的生活例子由旅游路线出发引导学生探索思考，并设计问题：如果一个小朋友在大庆想去北京旅游，可是他想去吃天津的包子，他要先去天津再到北京，那这两种路线哪条长？在这种实践的过程中，学生可以直观的去感受，在定理、公式的探索中渗透分类思想 、归纳思想、抽象概括思想等数学思维.2.2 解决问题中激活数学思维 数学知识可以由教学中讲解给学生，可是学生对这种被动接受来的知识只停留在记住，而深层次的理解就达不到，蕴含在其中的数学思想更是不可能认识到，因此要积极引导学生参与数学问题的解决过程中，通过主动的数学活动去领悟高深的数学思想，要让学生通过个体的思考体会到在数学活动显现出的数学思维. 例如在学习三角形的稳定性时，可以让同学们自己制作三角形、四边形、五边形等不同的形状，在比较中学生可以直观的感受到哪个形状最稳定，通过实践认识知识形态的思想仅是一种感性认识，所以通过问题变式的教学，尤其是让学生独立的寻找问题的解决办法，使其真正认识到解决问题的实质，并体会题中渗透出的数学思维，但是一节课或者一个问题中还不足以说明学生真正理解了高深的数学思维，而是需要一节课一节课的坚持和积累，才会产生质的飞跃.2.3 总结归纳中概括数学思维 数学思想是蕴涵在数学知识中的，而数学教材中的知识则是披露式的，因此适当的总结归纳是十分重要的，应该适时地引导学生参与到概括数学思维的过程中，尤其是在章节的最后或单元复习的时候在对知识复习的同时，将知识中蕴藏的数学思维概括出来，强化学生运用数学思维的意识，产生独立思考的意识，以及提高解决数学问题的能力.概括数学思维一般分两部分完成，一个是揭示数学思维的内容，将数学对象的共性提取出来，二是了解数学思维方法与知识之间的联系，即将抽取出来的共性推广到同类中去，从而实现从个性认识上升为一般性认识. 例如学习二元一次方程的解时，可以让学生准备一定数量的苹果，让两个学生拥有的苹果总数固定在5个，可以有几种分法，设一个人有X个，一个人有Y个，从而可以认识到X+Y=5这个方程的非负整数解的概念，即知道有4种解法.通过总数的变化可以让学生继续讨论，提出解法.因此可以把复杂的方程问题转化为简单的问题，让学生认识到化归思想，还可以进一步的意识到数学思维是数学的灵魂，是对数学知识的高度概括. 第三章 发展数学思维的学习方法3.1非常规解法 非常规解法，培养的是学生数学思维的发散性.它比较常规解法而言，有时解题更加方便简洁，容易得到答案.适时的运用这种解法可以培养学生把解题思路放宽，不局限于固定模式. 例1 如图2，已知四边形ABCD中,AD=6,BC=5, CD=4,ADC =BCD =120,求AB的长.分析 因为四边形ABCD为一般四边形，不能用勾股定理，用常规解法直接求AB较难，但因有ADC=BCD=120,故可构造一个矩形BEFG（如图所示）可用含有30角的直角三角形求解. 解 过D作BC的延长线的垂线，垂足为E，过A作ED的垂线，垂足为F，过B作FA的垂线，垂足为G.由已知及含有30角的直角三角形的性质知： CE = 2，DE = 2，AF = 3，DF = 3， BE=BC+CE=7， AG = 4，BG = 5. AB = = =.3.2逆向思维逆向思维，培养学生在解题是的灵活应变.数学问题中有很多部能直接求解，需要用一些概念、定理的可逆性来求解，这是一种常见的思维形式，应用与解题中，也可以加深对基础的理解和认识. 例2 若实数a、b、满足a-b=8，ab16= 0， 求证 ab=0 分析 由ab=8得a+（-b)=8，由ab16=0, 得a（-b) =16 逆用韦达定理，可以构造一个以a、(-b)为根的一元二次方程 证明 ab=8，ab16=0, a （b）= 8，a( -b )= +16. 以a、（b）为根的一元二次方程为x-8x+(16 )=0. = ( - 8 )4( + 16 )0, - 40，故 = 0. x-8x+16= 0, (x-4)=0, x=4.方程有相等的两个实数根, a = ( - b ), a+b=0. ab=03.3辩证思考辩证思考，体现的是数学思维的深刻性，指在做题中不被问题的表象所迷惑，学会观察、寻找到知识之间的本质联系，而且不能从一个方面考虑问题，要善于从多种角度中思考问题，数学问题中有很多一题多解，一题多变的类型题，都是通过规律加以分析，掌握知识点之间的联系，提高解题能力. 例3 求方程+=的正整数解（其中为正整数，、两两互不相等） 解 设 则、2、3, 因而+=2, =, 又由+, 得出 =代入原方程, 得+=， 同理得=3、=, 故一组解为=2、=3、=, 同理对称式知另有五组解.3.4敢于质疑 对于数学问题的解答，学生应该有自己的思考方式，不能全部听信于老师和教材，要学会大胆质疑，大胆地说出自己的想法，并及时提出自己发现的问题.引导学生全面思考，避免思维的片面性，多问几个“为什么”，探索适合自己的解题思路和方式，提高学生的质疑能力，才能培养他们思维的批判性.3.5逻辑推理数学是最讲求逻辑关系的，逻辑推理是学好数学学科必须必备的能力，解题的过程每一步都要有着严密的逻辑联系.逻辑推理是指有正确合理的思考能力，能准确的表达出自己的思维过程，锻炼学生的逻辑推理能力，可以提高数学思维的目的性. 例4 已知实数、满足+=，试求+的最大值和最小值 解 +=, =, 则+=+, -+=-+, 0 -0, , 当=时 , =: 当=时, =.3.6类比联想类比联想可以培养学生数学思维的创造性，创造性思维是当下学习中一种难能可贵的学习思维，放弃以往拿书本上的知识照搬照抄，那样只会束缚住学生的思想，学会丰富的想象，放手去创造，锻炼自己独立的思考新的学习方法. 例5 刘老师买书，她带的钱正好可买15本英语书或24本物理书，若刘老师买了10本英语书之后，剩下的钱全部买物理书，可以买几本物理书？分析：设刘老师带a元，则英语书和物理书分别是和元，这样求解有一定难度，若把总钱数理解为总工作量，把可买15本英语书和24本物理书理解成甲、乙单独完成总量分别需要15天和24天，则这道题就可以类比成一道工程问题：一项工程，甲做15天完成，乙做24天完成，现在甲做10之后再由乙做，求还需要多少天完成？ 解 设还需要天完成 +=1 =8因此还可以买8本数学书.3.7合理猜想猜想一般用于对新学知识的探索阶段，这个阶段的猜想可以激发学生的数学思维，架起旧知识与新知识之间的联系。设置悬念也可以激起学生的求知欲，调动学生的思维积极性. 例6 过在同一条直线上的三点，能做一个圆吗.证明 假设过三点A、B、C在一条直线上，且可以作圆.设这个圆的圆心为O,由点的轨迹知，点O在线段AB的垂直平分线上,并且在线段BC的垂直平分线上.则圆心O就在和的交点上,这与“过一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾,故假设错误，过同一直线上的三点不能作圆. 窗体顶端窗体底端 第四章 总结 目前，数学学科对学生的要求越来越高，因此老师必须要看重对学生数学思维的培养，随时运用多种多样教学措施来锻炼学生的思维能力，积极开发与启迪学生的数学思维能力，鼓励学生大胆思考、猜测、主动探索，这样才能有效提高学生的数学思维能力，从而进一步促进学生综合素质的提高。 随着社会科技的不断变换，各个学科也在不断的发展，而对数学思维的研究也越来越深入，数学思维也与其他学科进行交叉综合的发展，走向多元化.数学思维的研究日趋与数学教育心理学研究相融合，并且以其他领域理论为指导.由此也是说明数学思维越来越受到教师和学生的重视.学习数学，不能离开数学思维，因为数学的本质特性就是思维，数学思维促使着我们对数学规律的探索，对定义、定理的发现，促使着我们向前去探寻，数学思维可以让我们根据数学问题的表面，通过具体地分析、推理、总结、归纳等不同认知过程找到解决问题的思路和方法.数学思维与数学知识是一样的，都是人类数学发展的经验总结以及智慧结晶，重视并掌握数学思维才可以化难为易，化腐朽为神奇，事半功倍.参考文献1王宪昌.数学思维方法M.北京:人民教育出版社，2010.2陈鼎兴.数学思维方法M.南京:东南大学出版社，2003.3李裕达数学思维能力及其培养之我见J.数学教学论文专辑,2003(6)：97.4戴明宏.在数学教学中培养发散性思维及创新能力J.石油教育，2005(6)：102-104.5朴京美.数学思维树M.北京：中信出版社，2006.目 录第一章 总论1第一节 项目背景1第二节 项目概况2第二章 项目建设必要性5第三章 市场分析与建设规模7第一节 汽车市场需求分析7第二节 市场预测12第三节 项目产品市场分析13第四节 建设规模16第四章 场址选择17第一节 场址所在位置现状17第二节场址建设条件17第五章 技术方案、设备方案、工程方案22第一节 技术方案22第二节 设备方案28第三节 工程方案33第六章 原材料、燃料供应38第七章 总图布置与公用辅助工程39第一节 总图布置39第二节 公用辅助工程43第八章 环境影响评价52第一节 环境保护设计依据52第二节 项目建设和生产对环境的影响52第三节 环境保护措施54第四节 环境影响评价56第九章 劳动安全卫生与消防57第一节 劳动安全卫生57第二节 消防64第十章 节能与节能措施67第一节 项目概况67第二节 项目综合能耗69第三节 节约及合理利用能源的主要措施71第十一章 项目实施进度与人力资源配置76第一节 建设工期76第一节 项目实施进度76第二节 生产组织与人员培训79第十二章 投资估算与资金筹措82第一节 建设投资估算82第二节 总投资估算86第三节 资金筹措86第十四章 财务效益分析88第一节 财务评价基础数据与参数选取88第二节 销售收入及销售税金估算89第三节 成本费用估算89第四节 财务评价91第五节 不确定性分析93第十三章 风险分析95第十四章 结论与建议97第一节 研究结论97第二节 建议97