高三文科数学专题复习测试卷17.doc

专题三　数　列
真题体验·引领卷
一、选择题
1．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
2．(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　)
A. B.
C．10 D．12
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)
A．2 B．1 C. D.
5．(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　)
A．9 B．5
C．4 D．2
二、填空题
7．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
8．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
9．(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________．
三、解答题
10．(2015·安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

11．(2015·福建高考)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

12．(2015·山东高考)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

专题三　数　列
经典模拟·演练卷
一、选择题
1．(2015·济南模拟)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝(　　)
A．75 B．90 C．105 D．120
2．(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且满足a4a6＝，a7＝，则S4的值为(　　)
A．15 B．14 C．12 D．8
3．(2015·衡水中学调研)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
4．(2015·南昌二模)已知数列{an}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{bn}的前n项和Sn＝3n.若am＝b1＋b4，则正整数m的值为(　　)
A．26 B．27 C．28 D．29
5．(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则S6＝(　　)
A．44 B．45
C.·(46－1) D.·(45－1)
6．(2015·成都模拟)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则向量m＝(a1，a4)的模为(　　)
A．53 B．50 C. D．5
二、填空题
7．(2015·郑州质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＝，a4＋a5＝6，则S6＝________．
8．(2015·潍坊调研)在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 015的值为________．
9．(2015·河北质检)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值为________．
三、解答题
10．(2015·长沙调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

11．(2015·大连模拟)已知数列{an}与{bn}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2bn(n∈N*)，且数列{an}为等差数列，a1＝2，b3＝64b2.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝(an＋n＋1)·2an－2，求数列{cn}的前n项和Tn.

12．(2015·衡水点睛大联考)若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*.数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．
(1)求an和Tn；
(2)是否存在正整数m、n(1<m<n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

专题三　数　列
专题过关·提升卷
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是数列“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要且不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9等于(　　)
A．32 B．24
C．16 D．8
3．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，则S6等于(　　)
A．120 B．254
C．364 D．128
4．(2015·长春调研)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S4＝20，S6－S2＝36，则该等差数列的公差d＝(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
5．各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝5S2，a2＝2且Sk＝31，则正整数k的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
6．(2015·太原诊断)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)，则实数a的值是(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
7．(2014·肇庆模拟)已知正项数列{an}为等比数列且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为(　　)
A. B．31
C. D．以上都不正确
8．(2015·焦作高三统考)已知正项等比数列{an}满足a3·a2n－3＝4n(n＞1)，则log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．n2 B．(n＋1)2
C．n(2n－1) D．(n－1)2
9．(2015·衡水点睛联考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋(n≥2，且n∈N*)则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝　　　　　 B．an＝
C．an＝n＋2 D．an＝(n＋2)·3n
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋1＝2a6，且S7＝S10，则使得Sn取得最小值时，n的值是(　　)
A．8 B．9
C．8或9 D．10
11．(2015·绵阳市一诊)设各项均不为0的数列{an}满足an＋1＝
an(n≥1)，若a2a4＝2a5，则a3＝(　　)
A. B．2 C．2 D．4
12．(2015·郑州质检)设数列{an}是首项为1，公比为q(q≠－1)的等比数列，若是等差数列，则＋＋…＋＋＝(　　)
A．2 012 B．2 013
C．4 024 D．4 026
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)
13．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
14．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
15．(2015·江苏高考)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．
16．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{an}，已知a1＝3，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，且a1，a3，a11成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

18．(本小题满分12分)(2015·揭阳模拟)已知等比数列{an}满足：an>0，a1＝5，Sn为其前n项和，且20S1，S3，7S2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log5a2＋log5a4＋…＋log5a2n＋2，求数列的前n项和Tn.

19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

20．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下证明是等差数列，并求an.

21．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设n∈N，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)记Tn＝xx…x，证明Tn≥.

22．(本小题满分12分)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝1－2Sn；将函数y＝sin πx在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{an}．
(1)求{bn}与{an}的通项公式；
(2)设cn＝an·bn(n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和．若a2－2a>4Tn恒成立，试求实数a的取值范围．

专题三　数　列
真题体验·引领卷
1．A　[∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5.故选A.]
2．D　[∵S1，S2，S4成等比数列，∴S＝S1·S4，又Sn为公差为－1的等差数列的前n项和．从而(a1＋a1－1)2＝a1，解得a1＝－.]
3．B　[由S8＝4S4知，a5＋a6＋a7＋a8＝3(a1＋a2＋a3＋a4)，又d＝1，∴a1＝，a10＝＋9×1＝.]
4．C　[由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.]
5．C　[由题设，am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3.因为数列{an}为等差数列．所以公差d＝am＋1－am＝1.由Sm＝＝0，得m(a1＋2)＝0，则a1＝－2.又am＝a1＋(m－1)d＝2，解得m＝5.]
6．A　[因为a，b为函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，所以所以a＞0，b＞0，所以当－2在中间时，a，b，－2这三个数不可能成等差数列，且只有当－2在中间时，a，b，－2这三个数才能成等比数列．经分析知，a，b，－2或b，a，－2或－2，a，b或－2，b，a成等差数列，a，－2，b或b，－2，a成等比数列．不妨取数列a，b，－2成等差数列，数列a，－2，b成等比数列，则有解得或(舍去)，所以所以p＋q＝9.]
7．6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是以公比q＝2，首项a1＝2的等比数列．则Sn＝＝126，解得n＝6.]
8．27　[由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．
∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.]
9．1　[∵三个正数a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1.
∵b为正数，∴b＝1.]
10．解　(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.
又a1＋a4＝9.可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3得公比q＝2，
故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝2n－1，
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.
11．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知得
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2 101.
12．解　(1)设数列{an}的公差为d，
令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.
令n＝2，得＋＝，
所以a2a3＝15.解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，
所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，
所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，
两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1
＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.
所以Tn＝×4n＋1＋＝.
经典模拟·演练卷
1．C　[设数列{an}的公差为d，依题设知d>0，则a3>a1，
∵a1＋a2＋a3＝15，则3a2＝15，a2＝5，
从而解之得a1＝2，a3＝8.
所以公差d＝＝3.
故a11＋a12＋a13＝(a1＋a2＋a3)＋30d＝15＋90＝105.]
2．A　[设等比数列{an}的公比为q，且q>0，an>0.
由于a4a6＝，a7＝，
则a3＝＝2，q4＝＝，所以q＝.于是a1＝＝8.
故S4＝＝＝15.]
3．B　[设等比数列{an}的公比为q.由于a3＝a1q2＝2.
∴a4a6＝aq8＝(a1q2)2·q4＝4q4＝16.则q4＝4，
故＝＝q4＝4.]
4．D　[由等差数列的性质，a9＝a3＋6d.∴17＝5＋6d，得d＝2，
因此am＝a3＋2(m－3)＝2m－1.
又数列{bn}的前n项和Sn＝3n，
∴b1＝S1＝3，b4＝S4－S3＝34－33＝54.
由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，则m＝29.]
5．B　[由a1＝1，a2＝3a1，得a2＝3，
又an＋1＝3Sn，知an＝3Sn－1(n≥2)，
∴an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)．
因此an＝
故S6＝1＋＝45.]
6．C　[依题意得，a1＝S1＝2，a4＝S4－S3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m＝(2，7)，|m|＝＝，故选C.]
7.　[∵a1＋a2＝，a4＋a5＝6，
q3＝＝8，从而q＝2，可求a1＝.
故S6＝＝.]
8．－2 015　[设数列{an}的公差为d，则＝a1＋d.
由－＝2，得－＝2.
所以d＝2，
因此S2 015＝2 015a1＋d＝－2 015.]
9．－2　[由y′＝(n＋1)xn(x∈N*)，所以在点(1，1)处的切线斜率k＝n＋1，故切线方程为y＝(n＋1)·(x－1)＋1，令y＝0得xn＝，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lg x1＋lg x2＋…＋lg x99
＝lg(x1·x2·…·x99)
＝lg＝lg＝－2.]
10．解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
由于n＝1时，a1＝1适合上式，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
A＝2＋22＋23＋…＋22n＝＝22n＋1－2.
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，
故数列{bn}的前2n项和Tn＝22n＋1＋n－2.
11．解　(1)由题设，得a1＋a2＋a3＝log2b3，①
a1＋a2＝log2b2，②
①－②得，a3＝log2＝log264＝6.
又a1＝2，
所以公差d＝2，因此an＝2＋2(n－1)＝2n.
又a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2bn.
所以＝log2bn，
故bn＝2n(n＋1)．
(2)由题意，得cn＝(3n＋1)4n－1，
则Tn＝4＋7·4＋10·42＋…＋(3n＋1)·4n－1，③
4Tn＝4·4＋7·42＋…＋(3n－2)·4n－1＋(3n＋1)·4n，④
由③－④，得－3Tn＝4＋3(4＋42＋…＋4n－1)－(3n＋1)4n
＝4＋3·－(3n＋1)4n＝－3n·4n，
所以Tn＝n·4n(n∈N*)．
12．解　(1)∵a＝S2n－1(n∈N*)，an≠0，
令n＝1，得a1＝1；令n＝2，得a2＝3，
∴等差数列{an}的公差d＝2.
从而an＝2n－1，bn＝，
于是Tn＝
＝.
(2)假设存在正整数m，n(1<m<n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
则＝·，可得＝>0，
∴－2m2＋4m＋1>0，解得1－<m<1＋，
由于m∈N*，m>1，得m＝2，此时n＝12.
故存在正整数m，n，当且仅当m＝2，n＝12时，满足T1，Tm，Tn成等比数列．
专题过关·提升卷
1．D　[当a1<0，q>1时，数列{an}是递减数列．当{an}为递增数列时，a1<0，0<q<1或a1>0，q>1.因此，“q>1”是{an}为递增数列的既不充分也不必要条件．]
2．C　[设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，因为a5＝8，S3＝6，
所以解得a1＝0，d＝2.
所以a9＝a1＋8d＝8×2＝16.]
3．C　[因为a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，所以又{an}是递增数列，
所以a1＝1，a3＝9，所以q＝3，S6＝＝364.]
4．B　[由题意，a1＋a2＋a3＋a4＝20，a3＋a4＋a5＋a6＝36，作差可得8d＝16，即d＝2.]
5．B　[由S4＝5S2，得a3＋a4＝4(a1＋a2)，
∴q2(a1＋a2)＝4(a1＋a2)，由于a1＋a2≠0，则q＝2.
又a2＝a1q＝2a1＝2.知a1＝1.∴Sk＝＝31，解得k＝5.]
6．A　[由Sn＝3n＋1＋a，则Sn－1＝3n＋a.
∴an＝Sn－Sn－1＝2·3n(n≥2，n∈N*)．∵a1＝S1＝9＋a，
又数列{an}为等比数列，
因此a1应满足an＝2·3n，即a1＝6.
所以9＋a＝6，∴a＝－3.]
7．B　[设公比为q，由题意得10a2＝a4＋3a3，
则20＝2q2＋3×2q，q2＋3q－10＝0，
又q＞0，∴q＝2.又a2＝2，
∴a1＝1，S5＝＝31，故选B.]
8．A　[∵a3·a2n－3＝4n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(a1a2n－1a3a2n－3…)＝log2(4n)＝n2.]
9．B　[由an＝an－1＋，得3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)．
∴数列{3nan}是以3为首项，公差为1的等差数列．
因此3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，所以an＝.]
10．C　[设等差数列{an}的公差为d.
由S10＝S7，得a8＋a9＋a10＝0，知a9＝0，
又2a6＝a2＋a10＝a2＋1，得a10＝1，
∴公差d＝a10－a9＝1>0，数列{an}单调递增．所以，当n≤8时，an<0，当n≥10时，an>0，
因此{an}的前8项或前9项和最小．]
11．D　[由an＋1＝an(n≥1)知数列{an}是以为公比的等比数列，因为a2a4＝2a5，所以a1q·a1q3＝2a1q4⇒a1＝2，所以a3＝4.]
12．D　[因为是等差数列，则＋＝，
又{an}是首项为1，公比为q(q≠－1)的等比数列，
∴＋＝2·⇒q＝1，
所以数列{an}是首项为1，公比为1的常数列，则an＝1.
故＋＋…＋＝4 026.]
13．5　[设数列的首项为a1，由等差数列与中位数定义，则a1＋2 015＝2×1 010，∴a1＝5.]
14.　－1　[因为a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a2a7，
即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴a1＝－d，∵2a1＋a2＝1，
∴2a1＋a1＋d＝1即3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1.]
15.　[∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，
∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
将上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n.
∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2)，
又a1＝1适合上式，因此an＝(n∈N*)，
令bn＝＝＝2，
故S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10
＝2＝.]
16．285　[由an＋2－an＝1＋(－1)n，知，
当n为奇数时，an＋2－an＝0；当n为偶数时，an＋2－an＝2.
所以数列a1，a3，a5，…，a29为常数列；a2，a4，a6，…，a30是公差为2的等差数列．又a1＝3，a2＝2.
因此S30＝15×3＋×15＝45＋×15＝285.]
17．解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
由S7＝7a4＝77，得a4＝11，
∴a1＋3d＝11，①
因为a1，a3，a11成等比数列，
所以a＝a1a11，整理得2d2＝3a1d，又因d≠0.
所以2d＝3a1②
联立①，②解得a1＝2，d＝3.所以{an}的通项公式an＝3n－1.
(2)因为bn＝2an，所以bn＝23n－1＝·8n，
所以数列{bn}是以4为首项，8为公比的等比数列，
由等比数列前n项和公式得，
Tn＝＝.
18．解　(1)设数列{an}的公比为q(q>0)．
∵20S1，S3，7S2成等差数列，∴2S3＝20S1＋7S2.
则2(a1＋a1q＋a1q2)＝20a1＋7(a1＋a1q)．
化简得2q2－5q－25＝0，解得q＝5或q＝－.
由q>0.舍去q＝－.
所以数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝5n.
(2)由(1)知，a2n＋2＝52n＋2，则log5a2n＋2＝2n＋2.
因此bn＝log5a2＋log5a4＋…＋log5a2n＋2
＝2＋4＋…＋2(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)．
∴＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＝.
19．解　(1)∵2Sn＝3n＋3，①
∴当n＝2时，2a1＝2S1＝3＋3，∴a1＝3.
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3.②
则①－②得2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1，则an＝3n－1.
所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝；
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，
两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n
＝－，所以Tn＝－，
经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝－.
20．(1)证明　由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
由Sn＋1＝4an＋2①
知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2②
①－②得an＋1＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解　由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2.
21．(1)解　由y＝x2n＋2＋1，得y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1.
由导数的几何意义知，
曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率k＝2n＋2.
从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．
令y＝0，得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝，
故数列{xn}的通项公式xn＝(n∈N*)．
(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知
Tn＝xx…x＝….
当n＝1时，T1＝.
当n≥2时，因为x＝＝>＝＝.
所以Tn>×××…×＝.
综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.
22．解　(1)由bn＝1－2Sn，令n＝1，
则b1＝1－2S1＝1－2b1，∴b1＝.
又当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，
∴bn－bn－1＝(1－2Sn)－(1－2Sn－1)＝－2bn.
因此3bn＝bn－1(n≥2，n∈N*)，
∴数列{bn}是首项b1＝，公比为q＝的等比数列．
所以bn＝b1qn－1＝.
令y＝sin πx＝0，x∈(0，＋∞)，得πx＝nπ(n∈N*)，
∴x＝n(n∈N*)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列．
于是数列{an}的通项公式a n＝n.
(2)由(1)知，cn＝an·bn＝，
则Tn＝＋＋＋…＋①
所以Tn＝＋＋…＋＋②
由①－②，得Tn＝＋＋…＋－＝－，于是Tn＝－－<，
要使a2－2a>4Tn恒成立，
则a2－2a≥3.解之得a≥3或a≤－1，
所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．