数学分析教案第一章实数集与函数.doc

个人收集整理 勿做商业用途第一章 实数集与函数导言 数学分析课程简介 （ 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis）简介： 1。背景： 从切线、面积、计算、实数定义等问题引入. 2.极限 ( limit ） - 变量数学的基本运算: 3.数学分析的基本内容:数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分（integration）两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数。 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分（calculus）的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期： 在我国,很早就有极限思想。 纪元前三世纪， Archimedes就有了积分思想。 2。十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期，是微积分思想的发展、成果的积累时期。 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 微积分的创建时期。4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 - 分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点： 逻辑性很强， 很细致， 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度， 倘能努力学懂前四章（或前四章的 ）， 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成。 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一， 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来,似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式， 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务。有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习， 课堂上认真听讲, 必须记笔记， 但要注意以听为主， 力争在课堂上能听懂七、八成。 课后不要急于完成作业， 先认真整理笔记， 补充课堂讲授中太简或跳过的推导， 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写。 基本掌握了课堂教学内容后， 再去做作业. 在学习中， 要养成多想问题的习惯。 四、课堂讲授方法： 1。关于教材及参考书：这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材： 1华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社,2001； 2刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； 3谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； 4马振民,数学分析的方法与技巧选讲, 兰州大学出版社，1999; 5林源渠,方企勤 数学分析解题指南,北京大学出版社,2003。 2.本课程按1的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求,只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去,相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3。内容多,课时紧： 大学课堂教学与中学不同的是， 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路， 具体内容或推导， 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简， 留给课后的学习任务一般很重。4.讲解的重点: 概念的意义与理解，几何直观,理论的体系，定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法，解题的方法与技巧。 某些精细概念之间的本质差别。五.要求、辅导及考试： 1。学习方法:尽快适应大学的学习方法， 尽快进入角色。 课堂上以听为主， 但要做课堂笔记。课后一定要认真复习消化， 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3。对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说， 课堂听讲的内容应该更为丰富： 要认真评价教师的课堂教学， 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的。2.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容。 大体上每周收一次作业, 一次收清。 每次重点检查作业总数的三分之一。 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记， 缺交作业将直接影响学期总评成绩。作业要按数学排版格式书写工整。 3。 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席。4. 考试： 按教学大纲的要求， 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括1中的典型例题。 考试题为标准化试题， 理论证明题逐渐增多.第一章 实数集与函数教学目的：1。使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语.要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念;牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示方法;牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。 教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。 教学时数：10学时 1 实数（2学时）教学目的：使学生掌握实数的基本性质教学重点：1。 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性;2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用教学方法:讲授（部分内容自学)一复习引新：1.实数集 ：回顾中学中关于实数集的定义。2.四则运算封闭性： 3。三歧性（ 即有序性 ）： 4.Rrchimedes性: 5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性， 给出稠密性的定义。6。实数集的几何表示 数轴: 7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二。 讲授新课: （一）。 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式： 定义 1P3 的六个不等式. 2. 其他不等式： 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值） （调和平均值)有平均值不等式: 等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式： （在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当 且 ， 且 时, 有严格不等式 证： 由 且 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式 有 上式右端任何一项。作业:（)（）、（） 2 数集确界原理 （4时）教学目的：使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清晰概念。教学要求:1。 掌握邻域的概念；2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点:确界的概念及其有关性质（确界原理)。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。 一、区间与邻域二、有界数集与确界原理： 1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界）, 闭区间、 为有限数)、邻域等都是有界数集,集合 也是有界数集. 无界数集: 定义， 等都是无界数集， 集合 也是无界数集.2.确界：给出直观和刻画两种定义。 例1 则 则 例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3 设和是非空数集，且有则有. 例4 设和是非空数集. 若对和都有则有 证 是的上界， 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明： 证 有或由和分别是和的下界,有或 即是数集的下界， 又的下界就是的下界， 是的下界, 是的下界， 同理有 于是有。综上,有.3。 数集与确界的关系： 确界不一定属于原集合。 以例1为例做解释。 4。确界与最值的关系: 设为数集。 的最值必属于, 但确界未必,确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值。 若存在， 必有 对下确界有类似的结论。三、确界原理: Th1.1 （确界原理）设为非空数集。若有上界，则必有上确界;若有下界，则必有下确界。 作业:：;； 3 函数概念 ( 2学时 ）教学目的:使学生深刻理解函数概念。教学要求：1. 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；2。 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域,会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析。 一、函数: 1. 函数: 1P10-11的四点说明。2. 定义域: 定义域和存在域。3。 函数的表示法： 4。 反函数： 一一对应，反函数存在定理。 5。 函数的代数运算： 二、分段函数: 以函数 和 为例介绍概念.例1 去掉绝对值符号.例2 求 例3 设 求 （答案为8) 三、函数的复合: 例4 求并求定义域。 例5 则 A. B. C. D。 4P407 E62。 四、初等函数： 1. 基本初等函数： 2. 初等函数: 3. 初等函数的几个特例: 设函数 和 都是初等函数, 则 是初等函数, 因为 和 都是初等函数, 因为 ， . 幂指函数 是初等函数,因为 作业: P15 3;4.（2）(3);5. (2）;7: (3)；114 具有某些特性的函数 ( 2学时 ）教学目的:熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语。教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证. 一、有界函数: 有界函数概念。 例6 验证函数 在 内有界.解法一 由 当 时，有 ， 对 总有 即 在 内有界.解法二 令关于的二次方程有实数根. 解法三 令 对应 于是 二、单调函数三、奇函数和偶函数四、周期函数