数学分析教案-(华东师大版)第一章实数集与函数.doc

数学分析教案 (华东师大版)第一章实数集与函数

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：

2

个人收集整理 勿做商业用途
第一章 实数集与函数
导言 数学分析课程简介 ( 2 学时 ）
一、数学分析(mathematical analysis）简介：
1。背景： 从切线、面积、计算、实数定义等问题引入。
2。极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：
3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数。主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论。
微积运算是高等数学的基本运算.
数学分析与微积分（calculus)的区别.
二、数学分析的形成过程：
1.孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想。 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.
2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期，是微积分思想的发展、成果的积累时期.
3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 —— 微积分的创建时期.
4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 -— 分析学理论的完善和重建时期：
三、数学分析课的特点:
逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 )， 后面的学习就会容易一些； 只要在课堂上专心听讲， 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法， 不辅以相应的技巧， 是很难顺利应用理论和方法的。 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事。 因此， 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法， 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.
有鉴于此， 建议的学习方法是: 预习， 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后， 再去做作业。 在学习中, 要养成多想问题的习惯.
四、课堂讲授方法:
1。关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方， 本课程主要从以下教科书中取材:
［1]华东师范大学数学系编,数学分析，高等教育出版社，2001；
［2]刘玉琏 傅沛仁 编,数学分析讲义，高等教育出版社，1992;
［3］谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社,2003；
［4]马振民,数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社,1999；
［5]林源渠，方企勤 数学分析解题指南,北京大学出版社，2003.
2。本课程按［1]的逻辑顺序并在其中取材。本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容,并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设。
3。内容多，课时紧： 大学课堂教学与中学不同的是， 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少， 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重。
4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观，理论的体系，定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路，具有代表性的证明方法，解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别。
五。要求、辅导及考试:
1.学习方法:尽快适应大学的学习方法， 尽快进入角色。 课堂上以听为主， 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化， 补充笔记。一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3.
对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说， 课堂听讲的内容应该更为丰富： 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验。 这对未来的教学工作是很有用的。
2.作业： 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 大体上每周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一。 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.
3. 辅导: 大体每周一次， 第一学期要求辅导时不缺席.
4。 考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1］中的典型例题。 考试题为标准化试题, 理论证明题逐渐增多.
第一章 实数集与函数
教学目的：
1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2。使学生深刻理解函数的概念,熟悉与函数性态有关的一些常见术语.要求学生:理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。
教学时数：10学时
§ 1 实数（2学时）
教学目的:使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
1。 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点:实数集的概念及其应用．
教学方法:讲授．（部分内容自学）
一．复习引新：
1.实数集 ：回顾中学中关于实数集的定义.
2。四则运算封闭性:
3。三歧性（ 即有序性 ）:
4。Rrchimedes性:
5。稠密性: 有理数和无理数的稠密性， 给出稠密性的定义。
6。实数集的几何表示 ─── 数轴:
7。两实数相等的充要条件：
8.区间和邻域:
二。 讲授新课：
（一). 几个重要不等式:
1。 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式.
2。 其他不等式：
⑴
⑵ 均值不等式: 对 记
（算术平均值）
(几何平均值）
（调和平均值)
有平均值不等式:
等号当且仅当 时成立.
⑶ Bernoulli 不等式： （在中学已用数学归纳法证明过）
有不等式
当 且 ， 且 时， 有严格不等式
证： 由 且

⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式

有 上式右端任何一项.
作业:Ｐ４．１．（１)２．（２）、(３）　３
§ 2 数集确界原理 （4时）
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.
教学要求：
1. 掌握邻域的概念；
2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点:确界的概念及其有关性质（确界原理）。
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
一、区间与邻域
二、有界数集与确界原理:
1.  有界数集： 定义（上、下有界, 有界）， 闭区间、 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集。
无界数集: 定义， 等都是无界数集,
集合 也是无界数集.
2。 确界：给出直观和刻画两种定义.
例1 ⑴ 则
⑵ 则

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的。
例3 设和是非空数集,且有则有.
例4 设和是非空数集. 若对和都有则有
证 是的上界, 是的下界，

例5 和为非空数集, 试证明:
证 有或由和分别是和的下界,有或 即是数集的下界， 又的下界就是的下界， 是的下界， 是的下界, 同理有 于是有。综上,有。
3。  数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释。 
4。  确界与最值的关系： 设为数集。 
⑴ 的最值必属于, 但确界未必,确界是一种临界点. 
⑵ 非空有界数集必有确界（见下面的确界原理）， 但未必有最值.
⑶ 若存在， 必有 对下确界有类似的结论.
三、确界原理:
Th1.1 （确界原理）
设为非空数集。若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界. 
作业：Ｐ９：５;６；８
§ 3 函数概念 （ 2学时 )
教学目的：使学生深刻理解函数概念.
教学要求:
1。 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法;
2。 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。
教学重点：函数的概念。
教学难点:初等函数复合关系的分析。
一、函数:
1。 函数： ［1］P10—11的四点说明.
2。 定义域: 定义域和存在域。
3. 函数的表示法:
4. 反函数： 一一对应,反函数存在定理。
5. 函数的代数运算:
二、分段函数： 以函数 和 为例介绍概念。
例1  去掉绝对值符号。
例2 求
例3 设 求 （答案为8) 三、函数的复合:
例4 求并求
定义域。
例5 ⑴
⑵ 则
A。 B. C. D.
[4]P407 E62.
四、初等函数:  
1。   基本初等函数： 
2。   初等函数:
3.   初等函数的几个特例： 设函数 和 都是初等函数， 则
⑴ 是初等函数， 因为
⑵ 和 都是初等函数,
因为 ,
。
⑶ 幂指函数 是初等函数，因为

作业： P15　 3；4.（2)(3）；5. (2）;7： （3）;11
§4 具有某些特性的函数 ( 2学时 )
教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语。
教学目的:深刻理解有界函数、单调函数的定义;理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。
教学重点：函数的有界性、单调性。
教学难点：周期函数周期的计算、验证。
一、有界函数: 有界函数概念。
例6 验证函数 在 内有界。
解法一 由 当 时，有
，
对 总有 即 在 内有界。
解法二 令关于的二次方程有实数根.

解法三 令 对应 于是

二、单调函数
三、奇函数和偶函数
四、周期函数
- 14 -