新华教育高中部数学同步人教A版必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系-空间点、直线、平面之间的位置.doc

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空间点、直线、平面之间的位置关系
学习过程
知识点1：平面的基本性质
⑴、 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.
图形语言表述：
符号语言表述；
公理1的作用:既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。
⑵、 公理2：过不在一条直线的三点,有且只有一个平面。
图形语言表述：
符号语言表述；
公理2的作用；一是确定平面,二是可用其证明点、线共面问题。
⑶、 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言表述：
符号语言表述;
公理3的作用：其一是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。
符号语言表述:
⑷、 公理4:平行于同一条直线的两条直线相互平行。
知识点2:空间中直线与直线的位置关系

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
异面直线夹角的取值范围: .
知识点3：空间中直线与平面之间的位置关系
（1)、直线在平面内——有无数个公共点；
（2)、直线与平面相交—-有且只有一个公共点；
（3)、直线与平面平行-—没有公共点。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
知识点4：平面与平面之间的位置关系
（1)、两个平面平行——没有公共点；
（2）、两个平面相交—-有一条公共直线。
典型例题
例题1 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m,
（I）试确定m,使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为；
(Ⅱ)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,并证明你的结论。

答案：（1)
（2）的中点
解析：(I）

故。所以。
又.
故
在△，即.
故当时,直线。
（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得。
可推测的中点即为所求的点。
因为,所以
又,故。
从而
例题2已知两个正四棱锥的高分别为1和2， 。
（I）证明: ；
（II）求异面直线所成的角的余弦值；
(III）求点到平面的距离。
解析：（Ⅰ）取AD的中点M,连接PM、QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM.
从而AD平面PQM。
又PQ平面PQM,所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ)连接AC、BD，设ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q,C四点共面。
取OC的中点N，连接PN.
因为,所以
， （或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.
连接BN. 因为．

所以。
(Ⅲ）由(Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。
过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离。
连结OM。因为OM=AB=2=OQ,所以∠MQP=45°。
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=.
即点P到平面QAD的距离是。
例题3 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起,如图所示。记二面角的大小为。
证明平面

解析：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
∴EB//FD，且EB=FD,
∴四边形EBFD为平行四边形。 ∴BF//ED
∵ 平面AED，而BF平面AED ∴平面.
∴。