国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第38届).doc

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第38届） 1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）对于任意一对正整数m和n，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m和n，且其两腰都在这些正方格的边上 设S1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S2则为所有白色部分的总面积 令f(m，n)=|S1-S2|， o a. 当m，n同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m，n)； o b. 求证f(m，n)max(m，n)/2对所有m，n都成立； o c. 求证不存在常量C使得f(m，n) 2. 设A是ABC中最小的內角B和C将此三角形的外接圆分成两个弧U为落在不含A点的弧上且异于B，C的一点线段AB，AC的垂直平分线分别交AU于V，W直线BV， CW相交于T， 求证：AUTBTC3. x1，x2，.，xn是正实数满足|x1+x2+.xn|=1 且对所有i有|xi|(n+1)/2 试证明存在x1，x2，.，xn的一个 排列y1，y2，.，yn满足 |y1+2y2+.+nyn|(n+1)/2 4. 一个nn的矩阵称为一个n阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S=1，2，.，2n-1且对于每一个i=1，2，.，n，它的第i列与第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素求证：o a. 不存在n=1997阶的银矩阵； b. 有无限多个n，存在n阶银矩阵 5. 试找出所有的正整数对(a，b)满足6. 对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个数如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1 求证：对于任意整数n3，