资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△中，，，垂足为,若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
3．如图，点A(m，m+1)、B(m+3，m−1)是反比例函数与直线AB的交点，则直线AB的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
5．的值是( )
A． B． C． D．
6．已知关于的一元二次方程有一个根是-2，那么的值是( )
A．-2 B．-1 C．2 D．10
7．在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（ ）千米．
A．3 B．30 C．3000 D．0.3
8．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )
A． B． C． D．
9．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．无法确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
12．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
13．二次函数图象的顶点坐标为________．
14．为了解早高峰期间A，B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表：
等待时的频数间
乘车等待时间
地铁站
5≤t≤10
10＜t≤15
15＜t≤20
20＜t≤25
25＜t≤30
合计
A
50
50
152
148
100
500
B
45
215
167
43
30
500
据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于A，B两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上车．（填“A”或“B”）
15．如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点分别在轴、轴的正半轴, 轴, 点在函数的图象上.若则的值为_____．
16．等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程x2﹣6x+8=0的两个根，则这个△ABC的周长是_____．
17．已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为_____．
18．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
20．（6分） (1)计算：
(2)解方程：
21．（6分）如图，在中，，，，求和的长.
22．（8分）某服装店老板到厂家选购、两种品牌的羽绒服，品牌羽绒服每件进价比品牌羽绒服每件进价多元，若用元购进种羽绒服的数量是用元购进种羽绒服数量的倍.
（1）求、两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若品牌羽绒服每件售价为元，品牌羽绒服每件售价为元，服装店老板决定一次性购进、两种品牌羽绒服共件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于元，则最少购进品牌羽绒服多少件？
23．（8分）经过点A（4，1）的直线与反比例函数y＝的图象交于点A、C，AB⊥y轴，垂足为B，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AC的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点P在双曲线位于第一象限的图象上，若∠PAC＝90°，则点P的坐标是 ．
24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．
25．（10分）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知．
（1）求的值及直线的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点是轴上一点，当的面积为时，请直接写出此时点的坐标．
26．（10分）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】在△中，根据勾股定理可得，而∠B=∠ACD，即可把求转化为求．
【详解】在△中，根据勾股定理可得：
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴=．
故选D．
【点睛】
本题考查了了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．
2、C
【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度不变．
【详解】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
3、B
【分析】根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出m的值，便可求出一次函数的解析式；
【详解】由题意可知，m（m+1）=（m+1）（m-1）
解得m=1．
∴A（1，4），B（6，2）；
设AB的解析式为
∴
解得
∴AB的解析式为
故选B.
【点睛】
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，比较简单．
4、D
【解析】析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y1图象的交点横坐标，可确定y1＞y1时，x的取值范围．
解答：解：∵函数y1=x-1和函数y1=的图象相交于点M（1，m），N（-1，n），
∴当y1＞y1时，那么直线在双曲线的上方，
∴此时x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
5、D
【解析】根据负整数指数幂的运算法则进行求解即可.
【详解】=，
故选D.
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，熟练掌握(a≠0，p为正整数)是解题的关键.
6、C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝−1代入关于x的一元二次方程，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值．
【详解】根据题意知，x＝−1是关于x的一元二次方程的根，
∴（−1）1＋3×（−1）＋a＝0，即−1＋a＝0，
解得，a＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．
7、A
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】解：设这条道路的实际长度为x，则=，
解得x=300000cm=3km．
∴这条道路的实际长度为3km．
故选A．
【点睛】
本题考查成比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换
8、D
【解析】根据几何体的三视图判断即可．
【详解】由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选D．
【点睛】
考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
9、C
【分析】将x=2代入原方程即可求出a的值．
【详解】将x＝2代入x2﹣ax＝0，
∴4﹣2a＝0，
∴a＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
10、B
【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有x个白球，则，
解得x=1．
经检验：x=1是原方程的解
故选B．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、m＞﹣
【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴1+2m＞0，
故m的取值范围是：m＞﹣，
故答案为：m＞﹣.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
12、
【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
13、
【解析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的h，k所表示的意义．
14、 B
【分析】用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；
先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案．
【详解】∵在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50＝100人，
∴在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为＝，
∵A线路不超过20分钟的有50+50+152＝252人，
B线路不超过20分钟的有45+215+167＝427人，
∴选择B线路，
故答案为：，B．
【点睛】
此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15、4
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC的值，根据等面积法求出OA的值，OA和AC分别是点C的横纵坐标，又点C在反比例函数图像上，即可得出答案.
【详解】∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2
∴BC=2，
解得：OA=
∴点C的坐标为
又点C在反比例函数图像上
∴
故答案为4.
【点睛】
本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C的横坐标.
16、11
【详解】∵，
∴（x－2）（x－4）=1．
∴x－2=1或x－4=1，即x1=2，x2=4.
∵等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程的两个根，
∴当底边长和腰长分别为2和4时，满足三角形三边关系，此时△ABC的周长为：2+4+4=11；
当底边长和腰长分别为4和2时，由于2+2=4，不满足三角形三边关系，△ABC不存在.
∴△ABC的周长=11.
故答案是：11
17、1
【分析】由相似三角形的面积比得到相似比，再根据AB即可求得A'B'的长.
【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：1，
∴AB：A′B′＝1：2，
∵AB＝2，
∴A′B′＝1．
故答案为1．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
18、13
【分析】利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
∴三角形的周长为：；
故答案为：13.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系.
三、解答题(共66分)
19、 (1) w＝－10x2＋700x－10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;
(3) A方案利润更高.
【分析】试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较.
【详解】解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.
（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
∴当x＝35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.
（3）A方案利润高,理由如下：
A方案中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而增大，
∴当x=30时，w有最大值，此时，最大值为2000元.
B方案中：，解得x的取值范围为：45≤x≤49.
∵45≤x≤49时，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而减小，
∴当x=45时，w有最大值，此时，最大值为1250元.
∵2000＞1250，
∴A方案利润更高
20、（1）；（2）x1＝3，x2＝﹣2.
【分析】（1）根据二次根式的运算法则，合并同类二次根式计算即可得答案；
（2）把原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用十字相乘法解方程即可.
【详解】（1）原式=
.
（2）
x2-x-6=0
（x﹣3）（x+2）＝0
解得：x1＝3，x2＝﹣2.
【点睛】
本题考查二次根式的运算及解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.
21、，
【分析】作CD⊥AB于D．在Rt△BDC求出CD、BD，在Rt△ACD中求出AD、AC即可解决问题.
【详解】解：
如图，过点作于点，
在中，
，，
，
在中，
，∴，
，
∴.
【点睛】
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22、（1）种羽绒服每件的进价为元，种羽绒服每件的进价为元（2）最少购进品牌的羽绒服件
【分析】（1）设A种羽绒服每件的进价为x元，根据“用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍”列方程求解即可；
（2）设购进B品牌的羽绒服m件，根据“这批羽绒服全部出售后所获利润不低于2000元”列不等式，求解即可．
【详解】（1）设A种羽绒服每件的进价为x元，根据题意得：
解得：x=1．
经检验：x=1是原方程的解．
当x=1时，x+200=700（元）．
答：A种羽绒服每件的进价为1元，B种羽绒服每件的进价为700元．
（2）设购进B品牌的羽绒服m件，根据题意得：
解得：m≥2．
∵m为整数，
∴m的最小值为2．
答：最少购进B品牌的羽绒服2件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，此题难度一般．
23、（1）反比例函数的表达式为y＝（2）直线AC的函数表达式为y＝x﹣1；（3）（，8）．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数表达式中，即可得出结论；
（2）先求出AB，设出点C的纵坐标，利用△ABC的面积为6，求出点C纵坐标，再代入反比例函数表达式中，求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）先求出直线AP的解析式，再和反比例函数解析式联立求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设点C的纵坐标为m，
∵AB⊥y轴，A（4，1），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为6，
∴AB×（1﹣m）＝6，
∴m＝﹣2，
由（1）知，反比例函数的表达式为y＝，
∴点C的纵坐标为：﹣2，
∴点C（﹣2，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝k'x+b，
将点A（4，1），C（﹣2，﹣2）代入y＝k'x+b中， ，
∴ ，
∴直线AC的函数表达式为y＝x﹣1；
（3）由（2）知直线AC的函数表达式为y＝x﹣1，
∵∠PAC＝90°，
∴AC⊥AP，
∴设直线AP的解析式为y＝﹣2x+b'，
将A（4，1）代入y＝﹣2x+b'中，﹣8+b'＝1，
∴b'＝9，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+9①，
由（1）知，反比例函数的表达式为y＝②，
联立①②解得， （舍）或 ，
∴点P的坐标为（，8），
故答案为：（，8）．
【点睛】
考查了待定系数法，三角形的面积公式，方程组的解法，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）30°.
【解析】(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；
(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.
【详解】解：(1) 连结OC.
∵平分，∴∠BAC=∠DAC.
又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.
∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线.
(2) 连结BC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.
又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, , , ∴AC=.
在Rt△ACB中, cos∠BAC=, ∴∠BAC=30°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识.连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法,求角的度数可以借助于三角函数.
25、（1），（2）解集为或（3）
【分析】（1）先把B（2，1）代入，求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，最后用待定系数法，即可得出直线AB的解析式；
（2）直接利用函数图象得出结论；
（3）先设出点P坐标，进而表示出△PED的面积等于，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线的解析式为.
∵在双曲线，
∴，
∴.
∵直线过两点，
∴，解得
∴直线的解析式为
（2）根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：
双曲线在直线上方的部分对应的x范围是：或，
∴不等式的解集为或.
（3）点的坐标为.
设点，且，
则.
∵当时，
解得，
∴此时点的坐标为.
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解本题的关键．
26、3﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°
＝2×+4××﹣
＝1+2﹣
＝3﹣．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
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