资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＝2；③abc＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
3．下列说法中错误的是（ ）
A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
4．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（ ）
A．25° B．40° C．45° D．50°
5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
6．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D的大小是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
7．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为;
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生；
D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝_____度．
12．一个三角形的两边长为2和9,第三边长是方程x2－14x+48=0的一个根，则三角形的周长为____．
13．抛物线与轴交点坐标为______.
14．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则_______．
15．已知，是抛物线上两点，该抛物线的解析式是__________．
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____．
17．一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，计算出该几何体的表面积是__________．
18．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某公司2019年10月份营业额为万元，12月份营业额达到万元，求该公司两个月营业额的月平均增长率.
20．（6分）用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？
21．（6分）某学校举行冬季“趣味体育运动会”，在一个箱内装入只有标号不同的三颗实心球，标号分别为1，2，3.每次随机取出一颗实心球，记下标号作为得分，再将实心球放回箱内。小明从箱内取球两次，若两次得分的总分不小于5分，请用画树状图或列表的方法，求发生“两次取球得分的总分不小于5分”情况的概率.
22．（8分）如图，正方形中，，点在上运动(不与重台)，过点作，交于点，求运动到多长时，有最大值，并求出最大值.
23．（8分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．
24．（8分）如图，在菱形中，点是上的点，，若，，是边上的一个动点，则线段最小时，长为___________．
25．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.
(1)若a=-1.
①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且n≥2时，该函数的最大值是8，求n的值;
②当函数自变量的取值范围是时，设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m，求m与n的函数关系式，并写出n的取值范围;
（2）若二次函数的图象还过点A（-2，0），横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点，二次函数图象与直线AB围城的区域（不含边界）为T，若区域T内恰有两个整点，直接写出a的取值范围.
26．（10分）如图所示，分别切的三边、、于点、、，若，，．
（1）求的长；
（2）求的半径长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①∵抛物线与x轴有两不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞1．
故①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），
∴代入得a+b+c＝2．
故②正确；
③∵根据图示知，抛物线开口方向向上，
∴a＞1．
又∵对称轴x＝﹣＜1，
∴b＞1．
∵抛物线与y轴交与负半轴，
∴c＜1，
∴abc＜1．
故③正确；
④∵当x＝﹣1时，函数对应的点在x轴下方，则a﹣b+c＜1，
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2、C
【解析】通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
【详解】解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.
3、B
【解析】试题分析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．
故选B．
考点：中心对称．
4、B
【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．
【详解】连接OA，
由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．
5、D
【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
6、C
【分析】根据圆内接四边形对角互补，结合已知条件可得∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，∠B+∠D=180°，由此即可求得∠D的度数.
【详解】∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，
而∠B+∠D=180°，
∴∠D=×180°=90°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练运用圆内接四边形对角互补的性质是解决问题的关键.
7、A
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8、A
【解析】将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：.
故选A.
9、C
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】∵绕旋转中心顺时针旋转90°后得到，
∴O、B的对应点分别是C、E，
又∵线段OC的垂直平分线为y=1，
线段BE是边长为2的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，
由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点为（1，1）．
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及垂直平分线的判定．
10、A
【分析】由题意根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查不可能事件、随机事件的概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】由题意先根据旋转的性质得到∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′＝45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．
【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，
∴△CAA′为等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∵∠CB′A′＝∠B′AC+∠1＝45°+20°＝1°，
∴∠B＝1°．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查旋转的性质，注意掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12、1
【分析】先求得方程的两根，根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解方程x2-14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=1．
【点睛】
本题考查三角形的周长和解一元二次方程，解题的关键是检验三边长能否成三角形．
13、
【分析】令x=0，求出y的值即可．
【详解】解：∵当x=0，则y=-1+3=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知y轴上点的特点，即y轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键．
14、
【分析】如下图，先构造出直角三角形，然后根据sinA的定义求解即可．
【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D
设网格中每一小格的长度为1
则CD=1，AD=3
∴在Rt△ACD中，AC=
∴sinA=
故答案为：．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是构造出直角三角形ACD．
15、
【分析】将A（0，3），B（2，3）代入抛物线y=-x2+bx+c的解析式，可得b，c，可得解析式.
【详解】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c上两点，
∴代入得，
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.
故答案为：y=-x2+2x+3.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求解析式，利用代入法解得b，c是解答此题的关键．
16、1
【解析】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1，
∴△ABC的内切圆的半径为 1，
故答案为1．
17、
【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，圆锥的表面积=底面积+侧面积（侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开，是一个扇形．），用字母表示就是S=πr²+πrl（其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）．
【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2，母线长为6，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是几何体的三视图以及圆锥的表面积公式，熟记圆锥的面积公式是解此题的关键．
18、下 直线x＝1 （1，2）
【分析】根据y=a（x-h）2+k的性质即可得答案
【详解】∵-3<0，
∴抛物线的开口向下，
∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
故答案为：下，直线x＝1，（1，2）
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、
【分析】设该公司两个月营业额的月平均增长率为，根据题目中的等量关系列出方程即可求解.
【详解】设该公司两个月营业额的月平均增长率为，
依题意，得:，
解得:(不合题意，舍去).
答:该公司两个月营业额的月平均增长率为.
【点睛】
本题考查的是增长率问题，比较典型，属于基础题型，关键是掌握增长率问题数量关系及其一般做法.
20、当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【分析】根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18﹣x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解．
【详解】解：如图甲：设矩形的面积为S，
则S＝8×（18﹣8）＝2．
所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为2；
如图乙：设垂直于墙的一边长为xm，则另一边为（18﹣1x﹣8）+8＝（18﹣x）m．
所以S＝x（18﹣x）＝﹣x1+18x＝﹣（x﹣9）1+81
因为﹣1＜0，
当x＝9时，S有最大值为81，
所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度一般，关键在于找到等量关系列出方程求解，另外注意配方法求最大值在实际中的应用
21、
【分析】根据题意先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次得分的总分不小于5分的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：树状图如下：
共有9种等可能的结果数，两次得分的总分不小于5分的结果数为3种，
所以P=．
【点睛】
本题考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22、当BP=6时，CQ最大，且最大值为1.
【分析】根据正方形的性质和余角的性质可得∠BEP＝∠CPQ，进而可证△BPE∽△CQP，设CQ＝y，BP＝x，根据相似三角形的性质可得y与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEP+∠BPE＝90°，∵，∴∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．
∴△BPE∽△CQP，∴．
设CQ＝y，BP＝x，∵AB=BC=12，∴CP＝12﹣x．∵AE＝AB，AB=12，∴BE＝9，
∴，化简得：y＝﹣（x2﹣12x），即y＝﹣（x﹣6）2+1，
所以当x＝6时，y有最大值为1．即当BP=6时，CQ有最大值，且最大值为1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质和二次函数的性质等知识，属于常见题型，熟练掌握相似三角形的性质和二次函数的性质是解答的关键．
23、（3）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.
【解析】（3）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b2－4ac＝3求出a的值，再代入解方程即可．
【详解】（3）将x＝2代入方程，得，解得：a＝．
将a＝代入原方程得，解得：x3＝，x2＝2．
∴a＝，方程的另一根为；
（2）①当a＝3时，方程为2x＝3，解得：x＝3.
②当a≠3时，由b2－4ac＝3得4－4(a－3)2＝3，解得：a＝2或3．
当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋3＝3，解得：x3＝x2＝－3；
当a＝3时， 原方程为：－x2＋2x－3＝3，解得：x3＝x2＝3．
综上所述，当a＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.
考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.
24、
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x−3，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值，再根据勾股定理可得的长．
【详解】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x−3，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，，
∵，AE⊥BC
设AE=3a，AB=5a，则BE=4a，
∴cosB=
∴
于是5x−1＝4x，
解得x＝1，即AB＝1．
所以易求BE＝12，AE＝9，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB•PE＝BE•AE，
求得PE的最小值为．
在Rt△BPE中，BP=
故答案为:．
【点睛】
本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．
25、 (1) ①n=1;② （2）
【分析】（1）①根据已知条件可确定抛物线图象的基本特征，从而列出关于的方程，即可得解；②根据二次函数图象的性质分三种情况进行分类讨论，从而得到与的分段函数关系；
（2）由得正负进行分类讨论，结合已知条件求得的取值范围．
【详解】解：(1) ∵抛物线过坐标原点
∴c=0，a=-1
∴y=-x2+2nx
∴抛物线的对称轴为直线x=n，且n≥2，抛物线开口向下
∴当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大
∴当x=2时，函数的最大值为8
∴-4+4n=8
∴n=1．
②若
则
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小
∴当时，函数值最大，；
若
则
∴此时，抛物线的顶点为最高点
∴；
若
则
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大
∴当时，函数值最大，
∴综上所述：
（2）结论：或
证明：∵过
∴
∴
①
∵若，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线
∴顶点为，对称轴与直线交点坐标为
∴两个整点为，
∵不含边界
∴
∴
②
∵若，区域内已经确定有两个整点，
∴在第三项象限和第一象限的区域内都要确保没有整点
∴
∴
∵当时，直线上的点的纵坐标为，抛物线上的点的纵坐标为
∴
∴
∴
故答案为：（1）①；②（2）或
【点睛】
本题属于二次函数的综合创新题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意分类讨论思想方法的应用．
26、（1）4；（2）2
【分析】（1）设AD=x，根据切线长定理得到AF=AD,BE=BD,CE=CF,根据关系式列得方程解答即可；
（2）连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，将△ABC分为三个三角形：△AOB、△BOC、△AOC，再用面积法求得半径即可.
【详解】解：（1）设 ，
分别切 的三边 、、 于点 、、，
，
，，，
，，
，
即 ，得 ，
的长为 ．
（2）如图，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，
则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且OD=OE=OF=2，
∵，，,
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，
∴△ABC的面积=,
∴,
∴OD=2,即的半径长为2.
【点睛】
此题考查圆的性质，切线长定理，利用面积法求得圆的半径，是一道圆的综合题.
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