资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( )
A．16 m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
2．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
5．已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（ ）
A．若，函数的最大值是5
B．若，当时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
6．若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（ ）
A． B． C． D．
7．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y=-的图象上，当x1＜x2＜0＜x3时，y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于
A．100° B．80° C．50° D．40°
9．在平面直角坐标中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'，若点A和它对应点A'的坐标分别为(2，5)，(-6，-15)，则△A'B'C'与△ABC的相似比为( )
A．-3 B．3 C． D．
10．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．把二次函数变形为的形式，则__________．
12．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为 ________．
13．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为_____．
14．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为 _____________
15．已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(－3, m)，则m＝______。
16．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_________．
17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
18．数据2，3，5，5，4的众数是____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．
（1）⊙O的半径为 ；
（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
20．（6分） “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
21．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
22．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）请判断是否可为此方程的根，说明理由．
（2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
23．（8分）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
（1）求证：△∽△．
（2）若，求的长．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝1．求BF的长．
25．（10分）⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；
（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．
26．（10分）如图，在平面直角系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，∠ABO＝30°，AB＝2，以AB为边在第一象限内作等边△ABC，反比例函数的图象恰好经过边BC的中点D，边AC与反比例函数的图象交于点E．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点E的横坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】设AB边为x，则BC边为（12-2x）,根据矩形的面积可列二次函数，再求出最大值即可.
【详解】设AB边为x，则BC边为（12-2x），
则矩形ABCD的面积y=x（12-2x）=-2（x-3）2+18，
∴当x=3时，面积最大为18，
选C.
【点睛】
此题主要考察二次函数的应用，正确列出函数是解题的关键.
2、A
【解析】试题分析：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴．
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD）
=×8×8-×4×4-+××4×4
=16-4π+8=24-4π．
故选A．
考点： 扇形面积的计算．
3、C
【分析】根据特殊角的函数值可得∠A度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B度数．
【详解】解：∵，
∴∠A=30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B=90°-∠A=60°
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键.
4、A
【解析】计算出方程的判别式为△＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．
【详解】方程x2+mx﹣1＝0的判别式为△＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查根的判别式，解题的关键是求出方程根的判别式进行判断.
5、D
【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.
【详解】当时，，
∴当时，函数取得最大值5，故A正确；
当时，，
∴函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，故B正确；
当x=1时，，
∴无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C正确；
当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
6、A
【分析】通过已知条件求出，即函数解析式为，然后将选项逐个代入验证即可得.
【详解】由题意将代入函数解析式得，解得，
故函数解析式为，
将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A的符合，
故答案为A.
【点睛】
本题考查了已知函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点.
7、C
【分析】根据反比例函数为y=-，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
【详解】解：∵反比例函数为y=-，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，且y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
8、D
【解析】试题分析：∵∠ACB和∠AOB是⊙O中同弧所对的圆周角和圆心角，且∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°．故选D．
9、B
【分析】根据位似图形的性质和坐标与图形的性质，进行解答即可．
【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A和它的对应点A′的坐标分别为（2，5），（-6，-15），
∴对应点乘以-1，则△A′B′C′与△ABC的相似比为：1．
故选：B.
【点睛】
本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解答此题的关键．
10、A
【解析】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i=，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ² +CQ²=BC²可得(4x)²+(3x)²=102，
解得：x=2或x=−2(舍)，
则CQ=PE=8，BQ=6，
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中,∵AP=≈13.1，
∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1，
故选A.
点睛：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】利用配方法将二次函数变成顶点式即可.
【详解】,
∴h=2,k=-9,即h+k=2-9=-7.
故答案为:-7.
【点睛】
本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于将一般式转换为顶点式.
12、
【分析】采用列举法求概率．
【详解】解：随机抽取的所有可能情况为：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁六种情况，则符合条件的只有一种情况，则P（抽取的2名学生是甲和乙）=1÷6=．
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的计算，题目比较简单．
13、y＝﹣（x+1）2﹣2
【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为，再把点（0，﹣3）代入即可求解a的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．
【详解】由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2），
设平移后函数的解析式为，
∵所得的抛物线经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a﹣2，解得a＝﹣1，
∴平移后函数的解析式为，
故答案为．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握坐标平移规律：“左右平移时，横坐标左移减右移加，纵坐标不变；上下平移时，横坐标不变，纵坐标上移加下移减”。
14、1或2
【分析】设BP=x，则CP=BC－BP=3－x，易证∠B=∠C=90°，根据相似三角形的对应顶点分类讨论：①若△PAB∽△PDC时，列出比例式即可求出BP；②若△PAB∽△DPC时，原理同上.
【详解】解：设BP=x，则CP=BC－BP=3－x
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C=180°－∠B=90°
①若△PAB∽△PDC时
∴
即
解得：x=1
即此时BP=1；
②若△PAB∽△DPC时
∴
即
解得：
即此时BP=1或2；
综上所述：BP=1或2.
故答案为：1或2.
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解决此题的关键.
15、-4
【分析】将(－3, m)代入y＝即可求出答案.
【详解】将(－3, m)代入y＝中，得-3m=12，∴m=-4，
故答案为：-4.
【点睛】
此题考查反比例函数的解析式，熟练计算即可正确解答.
16、y2＞y1＞y1
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案．
【详解】∵反比例函数的比例系数k<0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y1）都在反比例函数的图象上，
∴y2＞y1>0，y1<0，
∴y2＞y1＞y1．
故答案是：y2＞y1＞y1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，是解题的关键．
17、B．
【解析】试题分析：根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．
考点：圆的基本性质、切线的性质．
18、1
【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
三、解答题(共66分)
19、（1）4；（2）y=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4)
【分析】（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，进而求解.
【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是4；
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H
则∠OHA＝∠OHB＝90°
∵∠APB＝30°
∴∠AOB＝2∠APB＝60°
∵OA=OB，OH⊥AB
∴AH=BH=AB=2
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2
∴OH＝＝2
∴y＝×16 π－×4×2＋×4×x
=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4).
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
20、 (1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人
【解析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=90°；
故答案为60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10=5；
补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900×=300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.
21、这座灯塔的高度约为45m.
【分析】在Rt△ADC和Rt△BDC中，根据三角函数AD、BD就可以用CD表示出来，再根据就得到一个关于DC的方程，解方程即可．
【详解】解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
又，
∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-----方向角的问题，列出关于CD的方程是解答本题的关键，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
22、（1）不是此方程的根，理由见解析；（2）存在，或
【分析】（1）将代入一元二次方程中，得到一个关于p的一元二次方程，然后用根的判别式验证关于p的一元二次方程是否存在实数根即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，然后代入到中，解一元二次方程，若有解，则存在这样的p,反之则不存在．
【详解】（1）若是方程的根，
则．
，
∴不是此方程的根．
（2）存在实数，使得成立．
∵,且．
∴即．
∴
∴存在实数，当或时，成立
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
23、（1）详见解析；（2）1．
【分析】（1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出，再加上一组直角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证；
（2）先根据正方形的性质、中点的性质求出AE的长，再根据勾股定理求出BE的长，最后根据相似三角形的性质、线段的和差即可得．
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，且
；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
点E为AD的中点
在中，
由（1）知，
，即
故的长为1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），由题（1）的结论联系到利用相似三角形的性质是解题关键．
24、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝1，
∴，
∴BF＝2．
【点睛】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
25、（1）y＝；（2）或；（3）1．
【分析】（1）如图，作DF⊥BN交BC于F，根据切线长定理得，则DC＝DE+CE＝x+y，在中根据勾股定理，就可以求出y与x之间的关系式．
（2）由（1）求得，由根与系数的关系求得的值，通过解一元二次方程即可求得x，y的值．
（3）如图，连接OD，OE，OC，由AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E，得到，，，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，即可得出答案．
【详解】（1）如图，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理为：y＝，
∴y与x的函数关系式是y＝．
（2）由（1）知xy＝36，
x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy＝，即a＝72；
∴原方程为x2﹣15x+36＝0，
解得或．
（3）如图，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，
∴S△AOD＝S△ODE，
S△OBC＝S△COE，
∴S△COD＝××（3+12）×12＝1．
【点睛】
本题考查了圆切线的综合问题，掌握切线长定理、勾股定理、一元二次方程的解法是解题的关键．
26、（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用等边三角形的性质结合举行的判定方法得出D点坐标进而得出答案；
（2）首先求出AC的解析式进而将两函数联立求出E点坐标即可．
【详解】解：（1）∵∠ABO＝30°，AB＝2，
∴OA＝1，，
连接AD．
∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∠OBD＝∠BOA＝90°，
∴四边形OBDA是矩形，
∴，
∴反比例函数解析式是．
（2）由（1）可知，A（1，0），，
设一次函数解析式为y＝kx+b，将A，C代入得，解得，
∴．
联立，消去y，得，
变形得x2﹣x﹣1＝0，
解得，，
∵xE＞1，
∴．
【点睛】
本题主要考察反比例函数综合题，解题关键是熟练掌握计算法则求出AC的解析式.
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