资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．计算的结果是（ ）
A．－3 B．9 C．3 D．－9
2．已知关于的一元二次方程两实数根为、，则（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝
4．点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是( )
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
5．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有名学生，那么所列方程为( )
A． B．
C． D．
6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在中，，D为AC上一点，连接BD，且，则DC长为（ ）
A．2 B． C． D．5
8．方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
9．若，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=8，DF=3FC，则BC=__________.
12．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，若AF＝3，E为AB上一个动点，把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，若△BPE为直角三角形，则BP的长度为_____．
13．如图，点A在函数y＝(x＞0)的图像上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则k的值为______．
14．绕着A点旋转后得到，若，，则旋转角等于_____．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝_____．
16．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣7的值等于_____．
17．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm．
18．若函数y＝(k－2)是反比例函数，则k＝______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．
（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；
（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．
20．（6分）如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．
21．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；
（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，点P是直线BC下方抛物线上的任意一点。
(1)求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式。
(2)连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标。
23．（8分）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
24．（8分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.
25．（10分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： 或者 ．
（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
26．（10分）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】直接计算平方即可.
【详解】
故选C.
【点睛】
本题考查了二次根号的平方，比较简单.
2、A
【解析】根据根与系数的关系求解即可.
【详解】∵关于的一元二次方程两实数根为、，
∴.
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，二次项系数为1，常用以下关系：、是方程的两根时，，．
3、A
【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝；
cosA＝cos∠BCD= ;
tanA＝；
cosB＝；
所以B、C、D均错误
故选：A．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数定义，理解熟记锐角三角函数定义是解题关键，需要注意的是锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的．
4、D
【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,然后解方程即可求解.
【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:
,
,
解得:,
故选D.
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.
5、D
【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1．
【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x-1）x=1，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
6、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】（1）是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；
（2）不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
（3）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
（4）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
7、C
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，可判定△ABC∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例即可求出DC的长.
【详解】∵AB=AC=6
∴∠ABC=∠C
∵BD=BC=4
∴∠C=∠BDC
∴∠ABC=∠BCD，∠ACB=∠BDC
∴△ABC∽△BCD
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到两组对应角相等判定相似三角形.
8、B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝−7＜0，进而可得出该方程没有实数根．
【详解】
a＝2，b＝-3，c＝2，
∵△＝b2−4ac＝9−4×2×2＝−7＜0，
∴关于x的一元二次方程没有实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
9、A
【分析】根据，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
【详解】∵，
∴设a＝2k，则b＝3k，
则原式＝=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．
10、A
【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝1，CM＝2，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，进而得出EF的长．
【详解】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝1．
∵DM＝2，
∴CM＝2．
∴在Rt△BCM中，BM＝，
∴EF＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形的判定和性质,关键在于做好辅助线,熟记性质.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6+1．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出比例式，DF=3FC计算得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【详解】解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于；
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=8，
∴直角三角形ABE中，BE=8，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=8，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∵DF=3FC，
设CG=x，DE=3x，则AD=8+3x=BC
∵BG=BC+CG
∴8=8+3x+x
解得x=1-1，
∴BC=8+3（1-1）=6+1，
故答案为：6+1．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是得出BG=BE，从而进行计算．
12、2或．
【分析】根据题意可得分两种情况讨论：①当∠BPE＝90°时，点B、P、F三点共线，②当∠PEB＝90°时，证明四边形AEPF是正方形，进而可求得BP的长．
【详解】根据E为AB上一个动点，
把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，
若△BPE为直角三角形，
分两种情况讨论：
①当∠BPE＝90°时，如图1，
点B、P、F三点共线，
根据翻折可知：
∵AF＝PF＝3，AB＝4，
∴BF＝5，
∴BP＝BF﹣PF＝5﹣3＝2；
②当∠PEB＝90°时，如图2，
根据翻折可知：
∠FPE＝∠A＝90°，
∠AEP＝90°，
AF＝FP＝3，
∴四边形AEPF是正方形，
∴EP＝3，BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，
∴BP＝＝＝．
综上所述：BP的长为：2或．
故答案为：2或．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13、
【分析】首先过点A作AC⊥OB，根据等边三角形的性质得出点A的坐标，从而得出k的值．
【详解】分析：
解：过点A作AC⊥OB，∵△OAB为正三角形，边长为2，
∴OC=1，AC=，
∴k=1×=．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是待定系数法求反比例函数解析式以及等边三角形的性质，属于基础题型．得出点A的坐标是解题的关键．
14、50°或210°
【分析】首先根据题意作图，然后由∠BAC′=130°，∠BAC=80°，即可求得答案．
【详解】解：∵∠BAC′=130°，∠BAC=80°，
∴如图1，∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=50°，
如图2，∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°．
∴旋转角等于50°或210°．
故答案为：50°或210°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
15、100°
【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出与β的关系式．进而可求出β的度数．
【详解】连结OC，OD，
∵PC、PD均与圆相切，
∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，
∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°，
∴∠CPD+∠COD＝180°，
∵OB＝OC，OD＝OA，
∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A，
∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°，
∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°．
∴∠CPD＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】
本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
16、﹣1．
【分析】根据一元二次方程的解的概念可得关于m的方程，变形后整体代入所求式子即得答案.
【详解】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣3m＝1，
∴2m2﹣6m﹣7＝2（m2﹣3m）﹣7＝2×1﹣7＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的概念和代数式求值，熟练掌握整体代入的数学思想和一元二次方程的解的概念是解题关键.
17、1．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得1πr=，
解得r=1，
即圆锥的底面圆半径为1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
18、-1
【解析】根据反比例函数的定义列出方程，解出k的值即可．
【详解】解：若函数y＝(k－1)是反比例函数，
则
解得k＝﹣1，
故答案为﹣1．
三、解答题(共66分)
19、（1）画图见解析，A1（﹣1，4），B1（1，4）；（2）．
【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．
【详解】解：（1）所求作△A1B1C如图所示：
由A（4，1）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，
则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；
（2）∵AC=，∠ACA1=90°
∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：
S扇形CAA1+S△ABC
=+×1×2
=+1．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换；扇形面积的计算．
20、（1）△FAG是等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）BC＝．
【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，从而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF＝BF，从而证得FA＝FG，判定等腰三角形；
（2）成立，同（1）的证明方法即可得答案；
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F为BG的中点根据直角三角形的性质得到AF＝BF＝BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根据勾股定理得到BD＝12，AB＝4，由∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°可证明△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）△FAG等腰三角形；理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
（2）成立，理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，
∴∠BAD＝∠ABG，
∴AF＝BF，
∵AF＝FG，
∴BF=GF，即F为BG的中点，
∵△BAG为直角三角形，
∴AF＝BF＝BG＝13，
∵DF＝5，
∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，
∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，
∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，
∵∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴⊙O的直径BC＝．
【点睛】
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
21、（1）y＝x2﹣x+1； （2）Q（1，﹣1）；（3）M（2，1）
【分析】（1）由已知可求抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），由AB＝，所以（t﹣2）2+1＝2，求出B（1，0）或B（3，0），当B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，所以B（3，0），可证明△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，即可求Q（1，﹣1）；
（3）设顶点M（m，n），P（a，b）为抛物线上一动点，则有b＝a2﹣a+1，因为P到直线l的距离等于PM，所以（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，可得+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，由a为任意值上述等式均成立，有，可求定点M的坐标．
【详解】解：（1）∵图象经过点C（0，1），
∴c＝1，
∵当x＝2时，函数有最小值，即对称轴为直线x＝2，
∴，解得：k＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），
∵AB＝，
∴（t﹣2）2+1＝2，
∴t＝1或t＝3，
∴B（1，0）或B（3，0），
∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，
∴B（3，0），
∴AC＝2，BC＝，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，
设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，
∴x＝1或x＝2（舍去），
∴Q（1，﹣1）；
（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，
∴b＝a2﹣a+1，
∵P到直线l的距离等于PM，
∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，
∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，
∵a为任意值上述等式均成立，
∴，
∴，
此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，
∴定点M（2，1）．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合圆的相关知识解题是关键．
22、（1）二次函数的解析式为；（2）P（）时，四边形POP′C为菱形.
【分析】（1）将点B、C的坐标代入解方程组即可得到函数解析式；
（2）根据四边形POP′C为菱形，得到，且与OC互相垂直平分，可知点P的纵坐标为，将点P的纵坐标代入解析式即可得到横坐标，由此得到答案.
【详解】（1）将点B(3，0)、C(0，﹣3)的坐标代入y=x2+bx+c，得
，∴
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，
令中x=0，得y=-3，
∴C（0，-3）
∵四边形POP′C为菱形，
∴，且与OC互相垂直平分，
∴点P的纵坐标为，
当y=时， ，
得： ，
∵点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，
∴P（）时，四边形POP′C为菱形.
【点睛】
此题考查二次函数的待定系数法求解析式、菱形的性质，（2）根据菱形的对角线互相垂直平分得到点P的纵坐标，由此解答问题.
23、（1）如图，BE为所作；见解析；（2）小亮（CD）的影长为3m．
【分析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，连接PA并延长交直线BO于点E，则可得到小亮站在AB处的影子；
（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．
【详解】（1）如图，连接PA并延长交直线BO于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子：
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，
AB＝CD＝1.6，OB＝2.4，BE＝1.2，OD＝6，
∵AB∥OP，
∴△EBA∽△EOP，
∴即
解得OP＝4.8，
∵CD∥OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴，即，
解得FD＝3
答：小亮（CD）的影长为3m．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．
24、（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米.
【解析】分析：（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，得AF=DE，DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可.
详解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=（米）
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，
∴AF=DE，DF=AE.
设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=x米，CE=x米
在Rt△BDF中，∠BDF=45°，
∴BF=DF=AB-AF=60-x（米）
∵DF=AE=AC+CE，
∴20+x=60-x
解得：x=80-120（米）
故斜坡CD的长度为（80-120）米.
点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
25、（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC；（2）EF是⊙O的切线
【分析】（1）若EF是切线，则AB⊥EF，添加的条件只要能使AB⊥EF即可；
（2）作直径AM，连接CM，理由圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角即可．
【详解】（1）∠BAE＝90°；∠CAE＝∠B ；
（2）EF是⊙O的切线．
作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAM＋∠CAE＝90°，
∴AE⊥AM，
∵AM为直径，
∴EF是⊙O的切线．
26、销售单价为35元时，才能在半月内获得最大利润.
【解析】本题考查了二次函数的应用.
设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得．
解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000
当x==35时，才能在半月内获得最大利润
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